复旦大学：《数字信号处理》课程教学资源（课件讲稿）第五章 有限长离散变换

5.1(b)离散傅里叶变换DFT定义 由DFS导出DT的过程 x(n) 离散傅里叶变换(DFT): 有限长序列的傅里叶变换称为 N-1 离散傅里叶变换,简写为DFT 真(n) DT可以按3个步骤由DFS推导出来:1 ①将有限长序列延拓成周期序列; N-1 ②求周期序列的DFS; 主值区间 ③从DFS中取出一个周期便得到有限 长序列的DFT

由DFS导出DFT的过程 离散傅里叶变换(DFT)： 有限长序列的傅里叶变换称为 离散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由DFS推导出来： ①将有限长序列延拓成周期序列； ②求周期序列的DFS； ③从DFS中取出一个周期便得到有限 长序列的DFT。 0 N-1 n ( ) ~ x n -N 0 N-1 n 主值区间 x(n) 5.1 (b)离散傅里叶变换DFT定义 16

5.1(b)离散傅里叶变换DFT定义 将x(m)延拓成周期为N的周期序列x(n) x(n)=∑x(n+rN) 显然有 x(n),0≤n≤N一1 x(n)= (0, 其它 x(n)的第一个周期,即n=0到N-1的序列称为主值序列, n=0到N-1的范围称为主值区间 上述两式可分别表示为: x(n=x((n)N x(n=x(n). RN(n) 17

将x(n)延拓成周期为N的周期序列 显然有 的第一个周期，即n=0到N-1的序列称为主值序列， n=0到N-1的范围称为主值区间。 上述两式可分别表示为： ( ) ( ) ~ ( ) (( )) ( ) ~ x n  x n N x n  x n  RN n 5.1 (b)离散傅里叶变换DFT定义 17

其中R()是矩形序列。符号((n)表示卫对N取余数, 即 n=kN+(n),0≤((n))N≤N-1 这里k是商 同理,可以认为周期序列孑(n)的DFS系数是有限长序 列X(k)周期延拓的结果,而X(k)是8(k)的主值序列 8(k)=X(k)) X(k)=(k)·R(k)

其中RN(n)是矩形序列。符号((n))N表示n对N取余数， 即： 这里k是商。 同理，可以认为周期序列 的DFS系数是有限长序 列X(k)周期延拓的结果，而 X(k)是 的主值序列。 即： 18

5.1(b)离散傅里叶变换DFT定义 由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的表 示式为 元 X(k)=>x(n)e=Xx(n)WN x(m)=∑X(”X(那 N 由此可见,有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。 注意: 在离散傅里叶变换关系中,有限长序列都作为周期序列 的一个周期来表示,都隐含有周期性意义 19

由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）的表 示式为 由此可见，有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。          1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) N n nk N N n nk N j X k x n e x n W            1 0 1 0 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) N k nk N N k nk N j X k W N X k e N x n 注意： 在离散傅里叶变换关系中，有限长序列都作为周期序列 的一个周期来表示，都隐含有周期性意义。 5.1 (b)离散傅里叶变换DFT定义 19

X(k)=DFIx(m)=∑x(n)eN=∑ 0<k≤N n=0 x(n)=IDFTIX(k)] ∑4(k2=1 X(k)W,0≤n≤N-1 X(0) 0x0 V入 0×1 0×2 0×(N-1) x(0) X(1) 1x0 l×2 WaX(N-D (N-1)×0 (N-1)×1 (N-1)×2 WN-I)(N-x(N-1) W 0×0 W w IxI 1x2 N X(1) x(N-1) W

                                                             ( 1) (1) (0) ( 1) (1) (0) ( 1) 0 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 0 1 1 1 2 1 ( 1) 0 0 0 1 0 2 0 ( 1) x N x x W W W W W W W W W W W W X N X X N N N N N N N N N N N N N N N N N N N                                                                                    ( 1) (1) (0) 1 ( 1) (1) (0) ( 1) 0 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 0 1 1 1 2 1 ( 1) 0 0 0 1 0 2 0 ( 1) X N X X W W W W W W W W W W W W N x N x x N N N N N N N N N N N N N N N N N N N           ( ) 0 1 1 ( ) 1 ( ) IDFT[ ( )] ( ) DFT[ ( )] ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2                           X k W n N N X k e N x n X k X k x n x n e x n W k N N k kn N N k kn N j N n kn N N n kn N j ， ，   20