5.2DFT与DTFT变换的关系 进X)=DFTx(m=∑x(n)em 对比 X(k)=DFT|x(m)=∑x(n)W"0≤k≤N-1 X(e) X(k) X(k)=X(e°)y X(k)是序列傅里叶变换X(e)在区间[0,2m上的等间隔 采样值。 当N足够大时,X(k)的包络可逼近X(e)曲线
5.2 DFT与DTFT变换的关系 X(k)是序列傅里叶变换 在区间[0,2π]上的等间隔 采样值。 当N足够大时， 的包络可逼近 曲线。 k N j X k X e w w 2 ( ) ( )| ( ) jw X e 进行 对比 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n j j n X e DTFT x n x n e w w ( ) [ ( )] ( ) 0 1 1 0 X k DFT x n x n W k N N n nk N | X(k)| | ( )| jw X e 0 w X(e jw ) X(k) 26
52DFT隐含的周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列,但 由于W的周期性,使X(k)隐含周期性,且周期均为N。对 任意整数m,总有 W=W+mN),k,m、N均为整数 所以X(满足X(k+mN)=∑x(n)xmm ∑ x(n)N X(k) n= 同理可证明DFT式中 x(ntmN-X(n
5.2 DFT隐含的周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但 由于W kn N的周期性， 使X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对 任意整数m， 总有 ( ) , , , k k mN W W k m N N N 均为整数 所以X(k)满足 1 ( ) 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) N k mN n N n N kn N n X k mN x n W x n W X k 同理可证明DFT式中 x(n+mN)=x(n) 27
5.2DFT隐含的周期性 X(k)=∑x(m) n=0 wk=wktma X(k+mN)=∑x(n)Wm=∑x(mW=Y(k) 刀=0 DFT物理意义:有限长序列的N点离散傅里叶变换X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列x(m)、的离散傅里叶级数系数的主值序列,X(k)实 质上是x(m)的周期延拓序列x(m)=x(m)的频谱特性
5.2 DFT隐含的周期性 0 1 2 3 4 5 6 7 k (c) ( )| ~ |X k 0 1 2 3 4 5 6 7 k (d) |X(k)| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 ( ) 1 0 X k mN x n W x n W X k X k x n W N n kn N N n k m N n N N n kn N DFT物理意义：有限长序列的N点离散傅里叶变换X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列，X(k)实 质上是x(n)的周期延拓序列 ~ x(n) x((n)) N 的频谱特性。 k m N N k WN W 28
注意:关于离散傅里叶变换(DFT) 1)序列x(n)在时域是有限长的(长度为N),它的离散 傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N) n为时域变量,k为频域变量 2)离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别, DFT实际上是离散傅里叶级数的主值,DFT隐含有周期性。 3)离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 离散傅里叶变换理论实现了频域离散化,因而开辟了用 数字技术在频域处理信号的新途径
注意：关于离散傅里叶变换(DFT) 1）序列x(n)在时域是有限长的（长度为N），它的离散 傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的（长度也为N）。 n为时域变量，k为频域变量。 2）离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别， DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT隐含有周期性。 3）离散傅里叶变换（DFT）具有唯一性。 离散傅里叶变换理论实现了频域离散化，因而开辟了用 数字技术在频域处理信号的新途径。 29
第五章有限长离散变换 5.1有限长序列的傅里叶分析 5.2DFT与Z变换、DTFT变换的关系 ■5.3离散傅里叶变换的性质 5.4利用DFT计算线性卷积 5.5利用DFT分析信号的频谱
第五章 有限长离散变换 5.1 有限长序列的傅里叶分析 5.2 DFT与Z变换、DTFT变换的关系 5.3 离散傅里叶变换的性质 5.4 利用DFT计算线性卷积 5.5 利用DFT分析信号的频谱 30