派动和波 7.1.4谐振子的能量 中国科学技术大 国M下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为: dx x=AcoS(@t+o) v=-=-Aosin(@ t+o) dt 其中2=k/m 动能: Ek=mv=mosin(@t+o)=kA.-[1-cos 2(@t+Po) 学圆势能 杨V=22)=2e2 +cos2(@t+o) 维机械能: 纮 E=mv+kx2=tn[sin(ot+o)+cos(ot+oo)l=kA 2 2 此式表示简谐振动的机械能是守恒的
7.1.4 谐振子的能量 下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为： cos( ) = +0 x A t sin( ) = = − +0 A t dt dx v 其中 k / m 2 = 动能： [1 cos 2( )] 2 1 2 1 sin ( ) 2 2 1 0 2 0 2 2 2 2 = = m t + = k A • − t + A E mv k 势能： [1 cos 2( )] 2 1 2 1 cos ( ) 2 1 2 1 0 2 0 2 2 2 V = k x = k A t + = k A • + t + 机械能： 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 [sin ( ) cos ( )] 2 2 1 2 1 t t k A k A E = mv + k x = + + + = 此式表示简谐振动的机械能是守恒的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国 7.1.4谐振子的能量 由(7117)、(71.18)式可见动能和势能的变化频率都 科)周是原振子振动频率的两倍。不难求出,一个周期内动能、 学國势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 <E> E dt -kA T02 [-cos2(@t+Podt 技术大学杨维 =-E <V>= dt T Jo2 k2·[1+cos2(t+q0)d 2 E
7.1.4 谐振子的能量 由(7.1.17)、(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都 是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、 势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 k A t dt T E dt T E T k T k [1 cos 2( )] 2 1 2 1 1 1 0 2 0 0 = = • − + E 2 1 = k A t dt T Vdt T V T T [1 cos 2( )] 2 1 2 1 1 1 0 2 0 0 = = • + + E 2 1 = 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 71.5振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动,任何 中国科学技术大学杨维 个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的 学圃合成。 1.方向、频率相同,初位相不同的两个简谐 振动的合成 2.方向相同,频率不同的两个简谐振动的合 成 3.方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合 成(二维振动) 4.方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合 成,利萨如图形 5.振动的分解、谐波分析( Fourier分析)
7.1.5 振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何 一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的 合成。 1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐 振动的合成 2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合 成 3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合 成（二维振动） 4. 方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合 成，利萨如图形 5. 振动的分解、谐波分析（Fourier分析） 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 方向、频率相同,初位相不同 的两个简谐振动的合成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动, 中国科学技术大学杨维 每个振动的位移与时间关系可表为 x,=A cos(@t+,) x2=42cs(O1+(2) 利用振幅矢量法,由图7.8不 难看出,合运动仍是同频率的简 谐振动,即 x=x+x2=AcoS(@t+o) 图7.8振动合成的 振幅矢量图 LA +A2+2A1A2cos(02-9 tan 0=A sin i t A2 sin p2 A, COS P,+ A, cos 2
1. 方向、频率相同，初位相不同 的两个简谐振动的合 成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动， 每个振动的位移与时间关系可表为 = + = + cos( ) cos( ) 2 2 2 1 1 1 x A t x A t 利用振幅矢量法，由图7.8不 难看出，合运动仍是同频率的简 谐振动，即 cos( ) x = x1 + x2 = A t + + + = = + + − 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 cos cos sin sin tan 2 cos( ) A A A A A A A A A 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 方向、频率相同,初位相不同 的两个简谐振动的合成 国 从图7.8中或(71,24)式可知,合振动的振幅取决于 科)两振动的位相差 学因()2-9=2/z,k=0土1士2 技 术 则A=A1+A2 当()男=(2k+D,k=0士1±2 大 则A=A1-A2 杨(3)q2-q1为一般值 维 纮 则|A1-A2|<A<A+A2
1. 方向、频率相同，初位相不同 的两个简谐振动的合 成 从图7.8中或(7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于 两振动的位相差 (1) 2 −1 = 2k, k = 0, 1, 2, 则 A = A1 + A2 (2) 2 −1 = (2k +1), k = 0, 1, 2, | | A = A1 − A2 2 1 (3) − 为一般值 则 则 1 2 1 2 | A − A | A A + A 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮