目录 第一章变分法基础… 1 §1.1函的变分与泛函的极值 §1.2欧拉方程…… §1.3欧拉方程的积分………… §1.4角条件…17 §1.5有约束的情况 第二章线性空间………30 §2.1量空间…………………30 §2.2赋范线性空间…………… §2.3希尔伯特36 §2.4对偶空间…… …4 §2.5性算子和伴随算子…49 第三章矢量空间中的最优化………… ………53 §3.1逼近论… ……53 §3.2统计估计… 2 第四章泛函最优化的全局理论… ……………………70 §4.1基本概念 §4.2无约束最优化的全局理论… §4.3约束最优化的全局现论7 第五章泛函最优化的局部理论………………88 §5.1加微分与弗雷谢微分……88 §5.2无约束最优化的局部理论… §5.3约束最优化的局部论………96 第六章变分法中的直接方法……104 6.1试验函数法… 105 §6.2兹方法 ……07 §6.3有单元法… …112
X §6.4函数空间中的共扼梯度方法………12 §6.5惩罚函数法… 128 6.6投影梯度法… 13 第七章变分学在最优控制中的应用 ………133 §7.1几个简单的例子… 133 §7.2邦特列雅金极大值原理………142 §7.3用共轭梯度方法解最优控制问题……151 第八章变分学在力学中的应用 ……157 8.1力学的变分原理157 §8.2用共轭梯度算法解平百应力问题………161 §8.3用共轭梯度算法解跨音速流动6 参考文献 ……178
第一章变分法基础 s1.1泛函的变分与泛函的极值 定义(泛函)假设对某一类函数{y(x)}中的每一↑函教 y(x)有一个实数值砂与之对应,那末变量称为定义于{y(x 上的泛函,并记为 〔y(x)〕 粗略地说,泛函即自变量为函数的实值函数。 上述定义不难推广到依赖于多个函数的泛函,也不难推广到 定义在多元函数上的泛函。这时,上述定义中的x,y均可以是 矢量 …个泛函定义于其上的函数类称为对应于该泛函的容许函 数类 定义(函数的变分)泛函〔y(x)〕的自变量y(x)的变 分v是指容许函数类中的两个函数y2(x)与y2(x)之差: 8y=y1(x)-y2(x) 这里x是参数,或者说,在变分运算中可以认为x是固定不变的 (但可以在容许范围内取任意值)。 函数变分有如下性质:如果容许函数类由可微函数组成,则有 d(6y)=d〔y1(x)-y2(x) =d(y1(x))-d(y3(x)) 也就是说,此时函数的微分运算与变分运算的次序是可交换的。 定义(泛函的变分)如果泛函y(x)〕的改变量 AU=〔y(x)+dy)一U〔y(x)〕
可以表示为如下形式 Aa=L〔y(x),6y〕+B(y(x),8y)maxy,(1,4) 其中L〔y(x),8y对于by说来是线性的,且当iax8y→0 时有B(y(x),6y)→0,则称L〔y(x),8y为泛函v〔y(x)〕 的变分、记为8。 由上述定义可以看出,泛函的变分与函数的微分十分类似, 函数微分的运算法则一般说来对于泛函的变分也是适用的。例鄭, 若取函数的变分y=e(x),则容易验证 b=y(x)+n(x)〕 s1im-b〔y(x)+e(x ))-〔y(x)〕 dU av 2y ay 其中(·.·)表示两个矢量的内积。当然,这里假定了划是y 的可微函数。 又如,若a〔y(x),v〔y(x))是定义在同一函数类 y(x)}上的两个泛函,则4十,都是定义在{y(x)}上 的泛函,且有〔设变分8,80存在) 8(u +v)==Su+d0, 8(#7)=8t+U。 例11考虑最简单的泛函 U〔y〕= Dde 求它的变分0,其中上标′代表对自变量x求微商。 解令8y=e7(x),则有by′=e(x)。因而 AF(x, y+en, y'+em) F(x, y, y'7dx
在F可对y,y′求导的假定下,容易得到 IF, (x, y, y)y+F,(x, y, y')n'ydx 必须指出,在求泛函的变分时,x是当作参数处理的。因而 在上例中没有F:出现。 例1.2考虑泛函 J(Ⅱ) ax 03. +2f(x1,x2) 求它的变分。 解令姻=(x1x)。因而 「(=0(+e))2+(a(+e) 0: +2(u+en)f dQ ∫(m)+(a)+y 容易求 8J=2e li 0(#十en) ,日(“十)8 十 +v应 0 an ax ax, 8x2 a2 +nf ds 定义(最小函数)若泛函D〔y(x)在y=y“(x)上的值 不大于它在容许函数类中任一函数y(x)上的值,亦即 △U=U〔y(x))-v(y“(x)〕≥0 对容许函数类{y(x)}中的任一函数均成立,则称泛函U〔y〕在 y(x)上达到∫最小值,而称y·(x)为泛凼U〔y〕的最小 函数 定义(搔小函数)若泛函、x)在y=y·(x)上的值