异型材拉拔模具设计的变分方法

D0I:10.13374/j.issnl001053x.1997.03.011 第19卷第3期 北京科技大学学报 Vol.19 No.3 1997年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1997 异型材拉拔模具设计的变分方法 王连忠任学平张律王隆程 北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要采用了变分法原理，对异型材拉拔模具设计的方法进行了研究.初步实践表明，拉拔模具 设计采用变分的方法可应用计算机进行辅助设计，是简便、易行的方法，已成功地用于梅花轴形 件的拉拔模具设计 关键词拉拔，模具，变分法，异型材 中图分类号TG355.4 目前研究通过模具的金属流动的方法很多·~，而异型材拉拔模具设计一般还是， 采用经验的、或用一些辅助手段的图解法，其原因是即使在理想化的情况下的轴对称问题的 数学分析还是困难的.在异型材拉拔模具设计中能否采用一些较为简便的数学方法，得到比 较精确且实用的解，以利于程控加工机床的加工，这是本课题研究的目的.图解法的核心是找 到坯料轮廓线上各点至成品轮廓线上各点的“金属流程线”在横截面上投影的轨迹这条轨迹 线应该是与两轮廓线垂直，且长度最短的光滑曲线.可以看出，这样的问题在数学上是一个可 动边界的变分问题，s1 1拉拔模具设计变分法的提出 经过2个已知点求最短曲线长度是泛函求极值问题，也就是变分问题经过平面内两个 已知点（或称为边界点）曲线长度L是依赖于一类函数y()的泛函，将其表示成y(]的： w(=∫V+ydx (1) 同理过曲面内两个边界点的曲线长度？(xy]可表示为： e(x训=∫+y+ax (2) 求曲线长度最短问题就是求泛函山y(]或z(x川的条件极值，是典型的变分问题. 金属拉拔成形时某个金属质点的流程线应落在某个曲面上，在坯料和成品的形状确定的 条件下，合理的成形过程应该是使金属各质点获得最短的流程线图解法的实质正是着眼于 获得最短流程线而建立的方法，将金属质点流程线在横截面上的投影作为研究的对象，寻求 横截面上最短流程线，据此进行拉拔模具形状的设计.图解法带来的问题是： (1)无法用数学表达式描述金属流程线，因而也就无法用它描述拉拔模具型腔形状，这样 在加工模具时就不能充分发挥程控机床的优势. 1996-07-08收稿 第一作者男53岁副教授

第 19 卷 1 9 9 7年 第 3期 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ u r n a l o f U n i v e r s i t y o f 灰 i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e ij i n g V o l . 1 9 N o . 3 J l n e 1 99 7 异型 材拉拔模具设计的变分方法 色忠 任学平 张 律 北京科技大学材料科学与 工 程学院 , 北京 王隆程 10 0 0 8 3 摘要 采用 了 变分法原理 , 对异型材 拉拔模具 设计的方法 进行了 研究 . 初步实践 表 明 , 拉 拔模具 设计采 用 变分 的方 法可 应 用计 算机进行 辅助设计 , 是简便 、 易行 的方 法 , 已 成 功地用于梅 花轴形 件的拉拔模具设计 . 关键词 拉拔 , 模具 , 变分法 , 异型 材 中图分类号 T 3G 5 . 4 目前 研 究 通 过 模 具 的 金 属 流 动 的 方 法 很 多 l[ 一 4】 , 而 异 型 材 拉拔 模具 设 计一 般 还是 , 采用 经验 的 、 或 用一 些 辅助 手 段 的图解 法 , 其原 因是 即使在理 想 化 的情 况下 的 轴对称 问题 的 数学 分析 还是 困难 的 . 在 异 型材 拉 拔模 具 设 计中能 否采 用 一些 较 为 简便 的数 学 方法 , 得 到 比 较精 确 且 实用 的解 , 以 利于 程控 加工 机床 的 加工 , 这是 本 课题研 究 的 目的 . 图解 法 的核心是 找 到 坯料 轮 廓线 上各 点 至成 品轮廓 线 上各 点 的 “ 金 属流 程线 ” 在 横截 面上 投影 的轨 迹 . 这条 轨迹 线 应 该是 与两 轮廓 线 垂直 , 且长 度最 短 的光 滑 曲线 . 可 以 看 出 , 这 样 的问题 在数 学上 是一 个 可 动边 界的 变分问题 l[, 5] . 1 拉拔模具设计 变分法 的提 出 经过 2 个 已 知点 求 最短 曲线长 度 是泛 函 求极 值问题 , 也 就是变 分 问题 . 经过 平 面 内两个 已 知 点 (或称 为边界 点 ) 曲线 长度 L 是依 赖于一类 函数 夕 ( x) 的泛 函 , 将其 表示成 脚 (x) 〕的 : 场 ( x)] 一 { 戈 杯不、 J 凡 ( l ) 同理 过 曲面 内两个边 界点 的 曲线 长度 双 : ( 不 川 可表 示 为: 叹: ( x , 夕)l = 丁;丫 ` + , ` ’ 十 万 ’ 叙 (2 ) 求曲线长 度最 短 问题 就是 求泛 函 功 (x) 」或 双: ( 戈 y) 〕的条件 极值 , 是典 型 的变 分 问题 . 金属 拉拔 成形 时某 个金 属质 点 的流程线 应 落在某 个 曲面上 , 在 坯料和 成 品的形状确定 的 条件下 , 合理 的成 形 过程 应 该是 使金 属各质 点 获得 最 短 的流程 线 . 图解 法 的实 质正 是着 眼于 获 得 最短 流程 线而 建 立 的方法 , 将 金 属质 点 流程 线在 横截 面 上 的投影 作 为研 究 的对象 , 寻 求 横截 面上最 短流程 线 , 据此进 行拉 拔模具 形 状的设计 . 图解 法 带来 的问题是 : ( l) 无法 用数 学表 达式 描述 金属 流程线 , 因而也 就无 法用 它描述 拉拔 模具 型腔 形状 , 这 样 在加 工模 具 时就不 能充 分 发挥程 控机床 的优 势 . 19 9 6 一 0 7 一 0 8 收稿 第一作者 男 53 岁 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1997. 03. 011

·274· 北京科技大学学报 1997年第3期 (2)坯料的轮廓线长度和异型材的是不同的，而且，加工过程中材料表面是不断“更新” 的，坯料表面上各点与异型材成品表面上各点不存在一一对应的关系确定拉拔过程金属流 程线的问题在数学上实质是可动边界的变分问题，也就是要合理地选定一个边界点，寻求在 一定条件下过另一边界点的最短曲线问题.可见图解法不具有解决这种问题的严密性 (3)金属流程线应是连续且光滑的曲线，并应是垂直两轮廓线的最短曲线，图解法不能严 格、准确地描述这种曲线的特征和形状 为了能够较严密、较精确地用数学表达式来描述拉拔模具内轮廓线，提出依据可动边界 变分问题求解的基本思想，进行异型材拉拔模具的计算机辅助设计的研究， 2异型材拉拔模具设计的变分方法 在图解法基本思路的基础上，对异型材拉拔模具设计的变分方法进行了研究. 在研究拉拔过程金属流程线时，人们关心的是在由坯料轮廓线确定的区域内，一条金属 流程线的2个边界点分别在坯料和成品的轮廓线上，寻求过这2点的一类曲线y=∫()在一 定条件下的最短曲线问题.首先确定曲线的边界点，其方法是合理地选取】个边界点《x), 把另一轮廓线上的边界点xy)看成是沿该轮廓线曲线移动的点，这样该问题就成为过一已 知，点A(xy),寻求过可动边界点B(x)且满足垂直两轮廓线的曲线AB的极小值的问题. 过已知边界点A(c)的极值曲线形成一极值曲线束(xc)l,泛函((xc]在这束曲线上 成为xc的函数.(x)点一经确定，泛函(xc】的值就是确定的，而泛函(xc]的变分就 等同于这个函数的微分问题 应用此方法可以用三次多项式函数准确地描述过任一边界点的金属流程线曲线，并能按 变形量的大小准确给出任一道模具内轮廓线与金属流程线的交点坐标，利用这些交点坐标应 用数值计算方法就可以分段描述模具内轮廓曲线.此部分内容将另文论述， 在研究中借助于计算机辅助计算的手段，应用了求解变分问题的直接法，把泛函y(] 的变分问题变成有限多个变量的函数的极值问题的极限情况，并在计算中进行了简化.把金 属质点流程线用一元三次函数来表示： y=do+a x+ax+ax (3) 将固定边界点记作i(s),过i点的函数的各项系数分别用a,a,a2,a:表示，把无限个可 动边界点用按一定规则确定的有限个可动边界点表示.如任选定的可动边界点记作()，且 曲线过此二点，则： ,do+a+aa (4) 片，=a+a+ar+a (5) 应用限制（约束）条件： ,=u.+2ax+3a3 (6) y=a+2ax+3a (7) 就可以确定函数的各项系数ao,4,Q,a,,则可求出过固定边界点i和选定的可动边界点 ⅰ，同时满足约束条件的金属质点流程线，问题是过固定边界点i且满足约束条件的最短的曲 线是否过j点？ 可以看出动点一经确定，过确定的固定边界点和选定的可动边界点的泛函(]是系

. 2 74 . 北 京 科 技 大 学 学 报 19 97 年 第 3期 ( 2) 坯 料 的 轮廓 线 长 度 和 异 型材 的是 不 同 的 , 而 且 , 加 工过 程 中材 料 表 面是 不断 “ 更新 ” 的 , 坯 料 表 面 上各 点 与 异 型材 成 品 表 面上 各 点不 存 在 一一 对应 的关 系 . 确 定拉 拔 过程 金属 流 程 线 的问题 在 数 学上 实 质是 可 动 边界 的变分 问题 , 也就是 要 合理 地 选定 一个边 界点 , 寻求在 一定 条件 下 过另 一边 界点 的最 短 曲线 问题 . 可见 图解 法不 具有 解决这 种 问题 的严密性 . ( 3) 金 属流程 线 应是 连续 且 光滑 的 曲线 , 并 应是 垂直 两轮 廓线 的最短 曲线 , 图解 法不能严 格 、 准确 地描 述这 种 曲线 的特 征 和形状 . 为 了能 够 较严 密 、 较 精确 地 用数 学 表达 式来 描 述拉 拔模 具 内轮廓 线 , 提 出依据 可动边 界 变分 问题求 解 的基 本思 想 , 进 行 异型材 拉拔 模具 的计 算机 辅助设 计 的研究 . 2 异型 材拉拔模具设计 的变分方法 在 图解法 基本 思路 的基 础上 , 对异型 材拉 拔模具 设计 的变分 方法 进行 了研 究 . 在 研 究拉拔 过程 金 属 流程 线 时 , 人 们关心 的是 在 由坯 料轮廓线 确定 的 区 域内 , 一条金 属 流程 线 的 2 个 边界 点 分别在坯 料 和成 品 的轮廓线上 , 寻求过 这 2 点 的一类 曲线 y 二 f (x) 在 一 定条 件下 的最 短 曲线 问题 . 首 先确 定 曲线 的边界 点 . 其方 法是 合理 地选取 l 个边 界点 (A 凡力 , 把另 一 轮廓线上 的边界 点 拭不 y) 看 成是 沿该 轮廓线曲线 移动 的点 , 这 样该 问题 就成 为过一 已 知点 A 认 力 , 寻 求过 可动 边界 点 B( 戈 力 且满 足垂 直两 轮廓线的 曲线 BA 的极小值的间题 . 过 已 知 边界 点 A 帆 ,) 的极 值 曲线形 成一 极值曲线束 过 ( 凡 c)] , 泛 函 过 伙 c)] 在 这束曲线上 成 为 x , 。 的函 数 . 风戈 力点 一 经确 定 , 泛 函 过 以 c) ] 的值 就是 确 定的 , 而 泛 函 过伙 c)] 的变分就 等 同于 这个 函数 的微 分 问题 . 应用 此方 法可 以 用三 次多项 式 函 数 准确地 描述 过任 一边界 点 的金属流程 线 曲线 , 并能按 变 形 量 的大小 准确 给 出任一道模 具 内轮廓线 与金 属流程 线 的交点坐 标 , 利用这 些交点坐标应 用数值计 算方 法就 可 以 分段 描述 模具 内轮 廓曲线 . 此 部分内容将另文论 述 . 在研 究 中借助 于计算 机辅助计 算的手 段 , 应 用 了求解 变分 间题 的直 接法 , 把 泛函 脚 (x) ] 的变 分 问题变 成 有 限 多个 变 量 的 函 数 的极 值 问题 的极 限情 况 , 并 在计 算 中进行 了简 化 . 把 金 属质 点流 程 线用 一元 三次 函 数来 表 示 : ,一 a 。 + a l x + a Z尸 + a 3护 ( 3) 将 固定边 界 点记 作 i 恤 y) , 过 i 点 的函 数 的各项 系数 分别 用 a 。 , , “ , ; , a Z ; , 。 。 ` 表示 , 把无限个可 动边 界 点用 按一 定规则 确定 的有 限个 可动边 界点 表示 . 如任选定 的可动 边界点记 作 j 认y) , 且 曲线过 此二 点 , 则 : , , , = a 。 ; + a ,人 + a Z片 + a 3对 (4 ) , , 一 a 。 ` + a l六+ a Z才+ a 3才 ( 5 ) 应 用 限制 (约束 )条件 : 、尹少.. 了`龟、 `U,产 少 ` ’ ; = a l ; + 2 a 2人 + 3 a 3片 , ,j 一 a l , + 2 a 2谷 + 3 a 3才 就可 以 确 定 函数 的各项 系 数 。 。 ; , 。 、 ` , 。 2 , , “ : , , 则可 求 出过 固定 边界 点 i 和选定 的可 动边界点 j , 同时满 足约束 条 件 的金属 质 点流程 线 . 问题是 过 固定边 界点 i 且 满足 约束条 件 的最短 的曲 线是 否过 j 点? 可 以 看 出动点 一 经 确定 , 过 确 定 的 固定边 界 点 和选 定 的可 动边 界 点 的泛 函 场 (x) ]是 系

Vol.19 No.3 王连忠等：异型材拉拔模具设计的变分方法 ·275· 数a,a,a,a,的函数，求泛函y(]的极值问题就变成了在满足约束条件的情况下，寻求沿 已知轮廓线曲线移动的某个动点的问题6.选取的动点所求得的金属流程线应是在过有限个 动点中最短的流程线.也就是说把j点看作在已知轮廓线上移动的有限个点(1)j(2),j(3), …,j(),分别计算过i点和j()点的满足约束条件的曲线长度，并进行比较，其长度最短的 曲线即为我们所寻求的曲线依此类推可求出过各个固定边界点的金属流程线曲线的函数形 式，并绘出金属质点流程线图从理论上讲，用此方法可以确定由坯料轮廓围定的区域内任一 点的流动规律和过此点的流程曲线 根据各道次要求的变形量的大小，可相应在各流程线上选定各道次后金属质点应取的坐 标，各条流程线上对应坐标点的连线构成各道次模具的内轮廓线 异型材拉拔模具的计算机辅助设计方法中要解决的主要问题是：(1)合理地确定各固定 边界点；(2)求过固定点和可动边界点的且垂直两轮廓线的曲线长度极小值；(3)绘制过全部 固定点的流程线图；(4)按道次变形量确定各道模具内轮廓线 作为研究工作的第一步，首先研究了使用圆周坯料拉拔轴对称、面对称件模具设计的变 分方法，计算程序流程简图1所示， 3拉拔模具设计变分方法应用实例 成 确 道 流 模 模 始数据 立 定坯 坐 状 料 次变形 程线的 具轮廓 变形参数 具形状 标 尺 确 计 确 校 输 系 球 定 算 定 核 出 图1 计算程序流程图 应用拉拔模具设计的变分法对多种异型材拉拔模具进行了设计，并在拉拔梅花形异型材 生产时，根据工艺的要求进行了2种不同道次拉拔模具尺寸的设计 图2为使用中25mm的圆形坏料，经3道次拉拔成梅花形：坯料断面面积为490.11mm2, 第1道与第2道拔制后的断面面积分别为400.04mm2,328.70mm2,第3道拔制到成品断面 尺寸，梅花形的外接圆直径为中22.4mm,内接圆直径为中14mm,梅花形齿顶厚6.3mm,其 断面面积为283.71mm2. 图3为同样使用中25mm的圆周形坯料，经4道次拉拔成梅花形：第1道至第3道拔制后 的断面面积分别为429.61mm,370.27mm,306.69mm,第4道拔制到成品断面尺寸.此套 模具已成功地用于梅花形轴件的生产 4结论 在图解法的基础上，应用变分法原理进行拉拔模具设计可较为严格地表述金属质点流程 线，较为准确地确定各道次金属质点的坐标，初步实践表明，拉拔模具设计采用变分的方法可

V of . 19 oN .3 王连忠等 : 异型材拉 拔模具 设计 的变分方法 . 2 75 . 数 a 。 , “ , , 。 2 , a 3 的 函数 , 求 泛 函 场 ( x) l 的极值 问题就 变成 了在 满足 约束条件 的情 况下 , 寻求沿 已知 轮廓 线 曲线 移动 的某 个 动点 的 问题 6[] . 选取 的动 点所 求得 的金 属流 程线 应是 在过 有限个 动点 中最 短 的流 程 线 . 也 就 是说把 j 点看 作 在 已 知 轮廓 线 上 移 动的 有 限个 碑旬 (l ) , j ( 2) , j ( 3) , … … , j (n) , 分 别计算 过 i 点和 j (n )点 的满足 约束条 件 的 曲线长度 , 并 进行 比较 , 其长度 最短 的 曲线 即为我 们所 寻 求 的 曲线 . 依此 类推 可求 出过各 个 固定边 界点 的 金属 流程 线 曲线 的函数 形 式 , 并 绘 出金属 质 点流 程线 图 . 从理 论 上讲 , 用 此方 法可 以 确 定 由坯料 轮 廓 围定 的区 域 内任 一 点 的流 动规律和 过此 点 的流程 曲线 . 根 据 各道次要求 的变 形量 的大 小 , 可相 应在 各 流程 线 上选 定各 道 次后 金属 质 点应 取 的坐 标 , 各条流 程线 上对 应坐 标点 的连线 构成 各道 次模具 的 内轮廓线 . 异 型 材拉 拔模 具 的计 算机 辅 助设 计方 法 中要 解决 的主要 问题 是 : ( l) 合理 地 确定 各 固定 边 界 点 ; (2) 求过 固定 点 和 可动 边界 点 的且 垂直 两 轮廓线 的 曲线长 度 极小 值; ( 3) 绘制 过全 部 固定 点的 流程线 图; (4) 按 道次 变形 量确 定各 道模具 内轮 廓线 . 作 为研 究 工作 的 第一 步 , 首先 研 究 了使用 圆周坯 料拉拔 轴对称 、 面 对称件 模 具设 计 的变 分 方法 , 计 算程序 流 程 简图 l 所 示 . 3 拉拔模具设计 变分方法应用 实例 到川 变形参数校核 模具形状输出 昨日钊引习 程图 中卜卜卜 ó 序流 一程 |1 . |卜! l 涌定压料尺寸一计算 一图 原 建 成形状描述一品 始 立 数 坐 据 标 输 系 入 应 用拉 拔模 具设 计 的变分 法 对多种 异型 材拉 拔模具 进 行 了设 计 , 并在 拉拔 梅花 形异 型材 生 产 时 , 根 据工 艺的要 求 进行 了 2 种 不 同道次拉 拔模 具 尺寸 的设计 . 图 2 为使用 中25 m m 的圆形坯 料 , 经 3 道 次拉 拔成 梅花 形 : 坯 料 断面 面积 为 4 90 . 1 ~ 2 , 第 1 道与 第 2 道拔 制后 的 断面 面 积分 别为 4 0 . 04 m m , , 3 28 . 70 m m , ; 第 3 道拔 制到 成 品断面 尺寸 , 梅 花形 的外 接 圆直 径 为 中2 . 4 m m , 内接 圆直 径为 中14 ~ , 梅 花形 齿 顶厚 6 . 3 ~ , 其 断面面积 为 2 8 3 . 7 1 m m 2 . 图 3 为 同样使 用 中25 m m 的 圆周形 坯料 , 经 4 道 次拉拔 成梅 花形 : 第 1 道 至第 3 道 拔制后 的 断面 面积分 别为 4 29 . 61 m m , , 3 70 . 27 m m Z , 30 6 . 69 ~ “ ; 第 4 道 拔制 到 成 品 断面 尺寸 . 此套 模具 已成 功地 用于 梅 花形轴件的 生产 . 4 结论 在 图解法 的基 础 上 , 应 用变 分法 原理进 行拉 拔模 具设 计 可较 为严格 地表 述金 属质 点流程 线 , 较 为准确 地确 定各 道 次金属 质点 的坐 标 , 初 步 实践表 明 , 拉拔模 具设 计采 用变 分 的方法 可

·276· 北京科技大学学报 1997年第3期 应用计算机进行辅助设计，是简便、易行的方法. 图2坯料为中25mm,三道拔制成梅花形 图3还料为中25mm,四道拔制成梅花形 参考文献 1艾维超B,金属成形工艺与分析.北京：国防工业出版社，1988 2陈如欣，塑性有限元法及其在金属成形中的应用.重庆：重庆大学出版社，1989 3肖景容.模具计算机辅助设计与制造.北京：国防工业出版社，990 4彭旭麟等.变分法及其应用.武汉：华中工业学院出版社，1983 5加藤敏夫，变分法及其应用.周怀生译.上海：上海科技出版社，1961 6普伦特PM.条样函数与变分方法.柴家振译.上海：上海科技出版社，1980 Variational Method on Drawing Die Design of Special-shaped Steel Wang Lianzhong Ren Xueping Zhang Lu Wang Longcheng Material Science and Engineering School.UST Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The drawing die design by the use of the variational method for special shaped steel was studied.It was proved that the variational method is simple and feasible for CAD of the drawing die design.This method was successfully used in the drawing die design of the wobbler spindler. KEY WORDS drawing,die,variational method,special-shaped steel

. 2 7 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 7年 第 3期 应用计算 机进 行辅 助设 计 , 是 简便 、 易行 的方 法 . 图2 坯料为中25 m m , 三道拔 制成梅花形 圈3 坯料为巾25 m m , 四遭拔制成梅花形 参 考 文 献 艾维超 B . 金属成形工艺 与分析 . 北京: 国 防工业 出版社 , 1 9 8 8 陈如欣 . 塑性有 限元法及其在金 属成形 中的应用 . 重庆: 重庆大学 出版社 , 1 9 8 9 肖景容 . 模具计算机辅助设计 与制造 . 北京: 国 防工 业出版社 , 1 990 彭旭麟 等 . 变分法及其应用 . 武汉: 华中工 业学 院出版社 , 1 98 3 加藤敏 夫 . 变分法及其应 用 . 周怀生译 . 上海 : 上海科技出版社 , 19 61 普伦特 P M . 条样函 数与变分方法 . 柴家振译 . 上海: 上海科技 出版社 , 1 9 80 V ar i a t i o n a l M e th o d o n D r aw i n g D i e D e s i g n o f S P e e i a l 一 s h a P e d St e e l 肋 n g 几a n hz o n g 疮 n Xu eP in g 及 a n g 山 肠 n g 彻 n g e h e n g M a et ir al S c i e nc e an d E ng i n e e ir n g S e ho l , U S T B e ij i n g , B e ij i雌 10 0 0 8 3 , C ih n a A B ST R A C T T h e d arw i n g id e d e s i g n b y ht e u s e o f ht e v 颐iat o n al m e ht de of r s pe e i al s h a pe d s te e l w as s tu d i e d . I t w as P or v e d ht a t hte v iar a it o n al me ht od 1 5 s im P l e a n d fe as ib l e of r C A D o f ht e d arw i n g d i e d e s i g n . T卜1 5 m e ht od w as s cu e e s s ful ly us e d i n hte d arw i n g id e de s i g n o f ht e w o b b l e r s P i n d l e r , K E Y W O R D S d raw i n g , d i e , v iar a it o n al m e ht do , s pe e i al 一 s h a pe d s et e l