第五拿动量理 中5.2.1质点角动量定理 国于是52)式又可写为: 科 M 学 dt 技即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 术题点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 大 分,得: 学 Mdt=1-I 力矩对时间的积分J。M称为冲量矩。上式表示质点角 杨动量的增量等于外力的冲量矩,这就是质点角动量定理的 维国积分形式 纮回不论角动量定理的微分形式还是积分形式,都可以写 成分量形式
5.2.1 质点角动量定理 于是(5.2.2)式又可写为： M l = dt d 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 分，得： 0 0 M = l − l dt t 力矩对时间的积分 称为冲量矩。上式表示质点角 动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的 积分形式。 dt t M 0 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写 成分量形式。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中5.2.1质点角动量定理 国例51:讨论行星运动性质 科 解:取太阳为原点建立坐标系,设太阳和行星的质量 学】分别为m,m,利用第四章443节中引入的约化质量 技=m1m(m+m),就可以将该参考系视为惯性系,则 行星受到的力矩为M=rXF=0,故I=rXv=不变 米量,或掠面速度S=rXV2=不变量。故有: 大 学1.行星轨道是一条平面曲线。(因S的方向不变) s2.行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。(因 杨维 S的大小不变)
5.2.1 质点角动量定理 例5-1：讨论行星运动性质 解：取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量 分别为 m2， m1，利用第四章4.4.3节中引入的约化质量 μ= m1 m2 /(m1+ m2 ) ，就可以将该参考系视为惯性系，则 行星受到的力矩为 M = r×F = 0，故 l = r×μv = 不变 量，或掠面速度 S = r×v/2 = 不变量。故有： 1. 行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变） 2. 行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因 S 的大小不变） 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 52.2质点系角动量定理 国设体系有n个质点。 科 「p=F+f2+f1+…+fn 学 p2=f21+F2+f23+…+f2n 技 p3=f31+f32+F3+…+fn 术 Pn=fn+fn 2+fn3++fn(n-1)+Fn 大 学题令L=rxmv,M=rxE Q分别表示体系内第个质点的角动量和所受的外力矩 杨M=xx表示第/个质点对第1个质点的内力产生的力矩 维 =r X 纮 dxp,)=xp+x地 dh dt dt
5.2.2 质点系角动量定理 设体系有 n 个质点。 = + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + n n n n n n − n n n n p f f f f F p f f F f p f F f f p F f f f 1 2 3 ( 1) 3 3 1 3 2 3 3 2 2 1 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 令 i i mi i i i Fi l = r v , M = r 分别表示体系内第 i 个质点的角动量和所受的外力矩 ij i ij M = r f 表示第 j 个质点对第 i 个质点的内力产生的力矩 dt d dt d dt d dt d dt d i i i i i i i i i p r p p r r r p l = ( ) = + = 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 52.2质点系角动量定理 国用r×(52.5)的第个方程,得: 科 dI =M+Mn+Ma+…+M(-+M/++…+M 学 技 由牛顿第三定律知 ( 术别于是可得:M+M=r×+x=(-r)x=0 大将(526)式对求和,并利用(527)式可得: 学 (L1+l2+…+L,)=M1+M2+…+M 杨:1=1+12+…+,M=M1+M2+…+M。 维则L为体系的总角动量,M为体系所受的总外力矩。 然于是(52-9)为 = M
5.2.2 质点系角动量定理 用 ri×(5.2.5)的第 i 个方程，得： i i i i i i i i n i dt d M M M M M M l = + 1 + 2 ++ ( −1) + ( +1) ++ 由牛顿第三定律知： //( ) ij i j f r − r 于是可得： Mi j + M j i = ri f i j + rj f j i = (ri − rj )f i j = 0 将(5.2.6)式对求和，并利用(5.2.7)式可得： n n dt d (l 1 + l 2 ++ l ) = M1 + M2 ++ M 令： n M M M Mn L = l 1 + l 2 ++ l , = 1 + 2 ++ 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 于是(5.2-9)为： M L = dt d 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 52.2质点系角动量定理 国 =M 科 学即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体 技系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理 的微分形式。 术 对(52.10)式积分,可得体系角动量定理的积分形式 大 学 Mdt=L-L 体系角动量定理指出:只有外力矩才对体系的角动 杨□量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献但 维□对角动量在体系内的分配是有作用的 角动量守恒定律:当外力对给定点的总外力矩之和 纮圆为零时,体系的角动量守恒
5.2.2 质点系角动量定理 M L = dt d 即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体 系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理 的微分形式。 对(5.2.10)式积分，可得体系角动量定理的积分形式： 0 0 M = L −L dt t 体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动 量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但 对角动量在体系内的分配是有作用的。 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和 为零时，体系的角动量守恒。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮