(1)分割T=t<t1<t2<…<tn-1<tn=T2 Mt=t1-t1△s≈v(;△M1 部分路程值某时刻的速度 2)求和s=∑4≈∑v(1)A (3)取极限=max{△x1,△t2,…,△n} 路程的精确值S=im∑v(τ)A
1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i n i i s s v( )t 1 1 = = = （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t 路程的精确值 i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 （1）分割
问题 以上两个例子,一个是几何问题,求的 是以曲线y=fx)为曲边,以{a,b为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题,求的是 速度函数为v()的变速直线运动的物体在时 间区间[a,所走过的路程 归纳它们求的都是展布在某个区间上的总 量(总面积或总路程) 解决方法 通过局部取近似(求微分),求和取极限 (微分的无限求和)的方法,把总量归结为 求一种特定和式的极限
问题 以上两个例子，一个是几何问题，求的 是以曲线 y = f(x)为曲边，以[a,b] 为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是 速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时 间区间 [a,b] 所走过的路程 归纳它们求的都是展布在某个区间上的总 量（总面积或总路程） 解决方法： 通过局部取近似（求微分），求和取极限 （微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限
类似的例子还可以举出很多(几何、物 理的,在下一章定积分应用中即可见到) 这些问题虽然研究的对象不同,但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题,就有必要撇开它们的具体 含义,而加以概括、抽象得出定积分的概念
类似的例子还可以举出很多（几何、物 理的，在下一章定积分应用中即可见到） 这些问题虽然研究的对象不同，但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体 含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念
二、定积分的定义 定义设函数∫(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 若干个分点a=x<x.<x.<…<x,<x=b 把区间a,b分成个小区间,各小区间的长度依次为 △x1=x1-x1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 点5;(5∈△v),作乘积∫()x1(i=1,2,…) 并作和S=∑f(5)Ax1记=max{Ax1,Ax2,…,△xn} 如果不论对a,b怎样的分法,也不论在小区间[x1,x;l上 点怎样的取法,只要当λ→0时,和S总趋于 确定的极限,我们称这个极限为函数∫(x)
定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ，记 max{ , , , } = x1 x2 xn ， 如果不论对[a,b] 怎样的分法，也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法， 只要当 → 0时， 和S总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f (x) 二、定积分的定义
在区间[4,b上的定积分,记为 积分上限 了f(x)=I=im∑f(5Ax 积分和 分下限 积 被积函数 被积表达式 分 变Ia,b积分区间 量 注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的字母无关 Cf()dx=f()dt=f(u)du (2)定义中区间的分法;的取法是任意的
在区间[a,b]上的定积分， 记为 = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 [a,b]积分区间 积分和 注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关. ba f (x)dx = ba f (t)dt = ba f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的