推论 如果幂级数∑anx”不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 c的正数R存在,它具有下列性质: 当x<R时,幂级数绝对收敛; 工工工 当x>R时幂级数发散; 当x=R与x=-R时幂级数可能收敛也可能发散 上页
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义:正数R称为幂级数的收敛半径 c幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 T GR,R),I-R, R),(R,RI, I-R, RI 王规定()幂级数只在x=0处收敛 R=0,收敛区间x=0; (2)幂级数对一切都收敛, R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 牛问题如何求幂级数的收敛半径? 上页
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛
定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, H=0 王设mbH1=p(或 lima=p) 王()则当P≠0时R=;(2)当p=0时R=+∞; (3)当p=+时,R=0. 王证明对级数∑n“应用达朗贝尔判别法 n+1 …,x li n+1 m=lim n+ lx=plx, n→>∞0aLnX n n->0a 上页
定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x
(1)如果u1_n(D≠0存在, n→ o 庄由比值审法当1xk时级数4x收 从而级数∑ax"绝对收敛 n=0 当x时,级数∑|anx"1发散, n-=0 年且从某个n开始|amx|lanx"lanx|0 王从而级数∑4x"发散收敛半径R=1 n=0 上页 圆
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散 ; 1 收敛半径 R =
上(2)如果ρ=0,x≠0 n+1 a→0n→0,级数∑收敛 有 n+1 n=0 从而级数∑anx"绝对收敛.收敛半径R=+ ●● n-=0 (3)如果ρ=+∞, x≠0,级数∑anx"必发散 n=0 上(否则由定理知将有点x≠0使∑a1x1收敛) n= 收敛半径R=0 定理证毕
(2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n 级数 an x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛 = n n x an x 收敛半径 R = 0. 定理证毕