案材料力学教第15讲教学方案弯曲切应力、弯曲强度条件基本内容梁横力弯曲时横截面上的切应力。掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上教学目的切应力的分布和计算。2、熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。3、了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。重点本节重点：矩形截面梁的切应力、弯曲强度条件及计算。、难点本节难点：掌握需要对梁弯曲切应力进行强度校核的各种情况
材 料 力 学 教 案 1 第 15 讲 教学方案 ——弯曲切应力、弯曲强度条件 基 本 内 容 梁横力弯曲时横截面上的切应力。 教 学 目 的 1、掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上 切应力的分布和计算。 2、熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 3、了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 重 点 、 难 点 本节重点：矩形截面梁的切应力、弯曲强度条件及计算。 本节难点：掌握需要对梁弯曲切应力进行强度校核的各种情况
送$5-3弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力α，又有剪应力T。但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1.矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线aa,上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa,两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力α的方向一致。由于对称的关系，横线aa,中点处的剪应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa,线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，剪应力的图6-5沿裁面宽度剪应力的分布数值沿横线aa,不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力，。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相PM+dM比有足够的精确度。从图6-6a 的横弯梁中益截出dx微段，其左右截面上的内力如图dy6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所(a)(b)示，现欲求距中性轴z为y的横线aa,处的剪应力t。过aa,用平行于中性层的纵截面aa,cc,自dx微段中截出一微块（图6-6d)。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力t。微块左Alyamd"右侧面上正应力的合力分别为N,和N2，()图6-6根据徽块平街求剪应力其中MIdA-MsN, = Jo,dA= (a)
第 十 五 讲 2 §5-3 弯曲切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有剪应力 。但一般情况下，剪应力对 梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关 系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布 规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图 6-5 所示的矩形截面梁，横截面上作用 剪力 Q。现分析距中性轴 z 为 y 的横线 1 aa 上的剪 应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线 1 aa 两 端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力 Q 的 方向一致。由于对称的关系，横线 1 aa 中点处的剪 应力也必与 Q 的方向相同。根据这三点剪应力的 方向，可以设想 1 aa 线上各点剪应力的方向皆平行 于剪力 Q。又因截面高度 h 大于宽度 b，剪应力的 数值沿横线 1 aa 不可能有太大变化，可以认为是均 匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。 2）剪应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解，与精确解相 比有足够的精确度。从图 6-6a 的横弯梁中 截出 dx 微段，其左右截面上的内力如图 6-6b 所示。梁的横截面尺寸如图 6-6c 所 示，现欲求距中性轴 z 为 y 的横线 1 aa 处 的剪应力 。过 1 aa 用平行于中性层的纵 截面 1 1 aa cc 自 dx 微段中截出一微块（图 6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截 面上存在均匀分布的剪应力 。微块左 右侧面上正应力的合力分别为 N1 和 N2， 其中 1 * 1 I * * z A A z z S I M dA I My N = dA = = （a）
材料力学教察N:= Jond4- [M+dMn d4=M+dMs:(b)1.1.式中，A'为微块的侧面面积，,(）为面积A中距中性轴为处的正应力，S=JydA。由微块沿x方向的平衡条件x=0，得-N +N,-t'bdx=0(c)d将式（a）和式（b）代入式（c)，得dM s: -t bd=0(a)(b)1.图 6-7 矩形截面剪应力的分布t'=dM S'故dx bl.因dM=Q,t'=t，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力t为dx7=:(6-3)bl.式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；1.为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度：S，为面积A对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7)，可取dA=bdy，于是bhS: - [ yidA = fF byidyi =-y22.4?这样，式（6-3）可写成aOh?y?)ca21.上式表明，沿截面高度剪应力t按抛物线规律变化（图6-7b)。在截面上、下边缘处，图6-8国形截面剪应力的分布T=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为/=
材 料 力 学 教 案 3 1 * 2 II ( ) ( ) * * z A A z z S I M dM dA I M dM y N dA + = + = = (b) 式中， * A 为微块的侧面面积， ( ) I II 为面积 * A 中距中性 轴为 1 y 处的正应力， = * 1 * A Sz y dA。 由微块沿 x 方向的平衡条件 x = 0 ，得 − N1 + N2 −bdx = 0 （c） 将式（a）和式（b）代入式（c），得 0 * S − bdx = I dM z z 故 z z bI S dx dM * = 因 = Q, = dx dM ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力 为 z z bI QS * = （6-3） 式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q 为截面上的剪力； z I 为整个截面对中 性轴 z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度； y S 为面积 * A 对中性轴的静矩。 对于矩形截面梁（图 6-7），可取 dA = bdy1 ，于是 ) 4 ( 2 2 2 2 1 1 1 * y b h S y dA by dy h y A z = = = − 这样，式（6-3）可写成 ) 4 ( 2 2 2 y h I Q z = − 上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图 6-7b）。在截面上、下边缘处， y=± 2 h , =0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为
39(6-4)Tmx=2A式中 A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的为倍。2.圆形截面梁在圆形截面上（图6-8)，任一平行于中性轴的横线aa,两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得40(6-5)Tm=3A式中Ad’，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的%倍。3.工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为_O(S)mexTmaxdl z式中（S?）x为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的‘可以从型/(s')钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q，因此也可用下式计算mx的近似值图 6-9工字形裁面剪应力的分布mhid式中h，为腹板的高度，d为腹板的宽度。4
第 十 五 讲 4 A Q 2 3 max = （6-4） 式中 A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的 2 3 倍。 2．圆形截面梁 在圆形截面上（图 6-8），任一平行于中性轴的横线 aa 1 两端处，剪应力的方向必切于圆周， 并相交于 y 轴上的 c 点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方 向皆平行于剪力 Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得 A Q 3 4 max = （6-5） 式中 2 4 A d = ，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力 的 3 4 倍。 3．工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹 板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图 6-9 所示。最大剪应力在中性轴上，其值为 Z z dI Q S max max ( ) = 式中（S z ） max 为中性轴一侧截面面积对中性轴的静 矩。对于轧制的工字钢，式中的 max * ( ) z z S I 可以从型 钢表中查得。 计 算 结 果 表 明 ， 腹 板 承 担 的 剪 力 约 为 （0.95~0.97）Q，因此也可用下式计算 max 的近似 值 h d Q 1 max 式中 h 1 为腹板的高度，d 为腹板的宽度
材料力学教案$5-4弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件am [0](6-6)I.式中[]为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为MaeyX≤[](6-7)mxW.式中W=L(6-8)yaey称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度}。国际单位用m或mm。对于宽度为b、高度为h的矩形截面，抗弯截面系数为bh/2_bh(6-9)W.h/26直径为d的圆截面，抗弯截面系数为-e元d(6-10)%2内径为d，外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为(-α.)(-α),W, = _64α=d(6-11)/%32轧制型钢（工字钢、槽钢等）的W可从型钢表中查得。对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。5
材 料 力 学 教 案 5 §5-4 弯曲强度计算 根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力 作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满 足强度条件 [ ] max max max = z I M y （6-6） 式中 [ ] 为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为 [ ] max max = W z M （6-7） 式中 W z = max y I z （6-8） 称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度] 3。国际单位用 m3或 mm3。 对于宽度为 b 、高度为 h 的矩形截面，抗弯截面系数为 2 6 12 2 3 bh h bh Wz = = （6-9） 直径为 d 的圆截面，抗弯截面系数为 32 2 64 3 4 d d d Wz = = （6-10） 内径为 d ，外径为 D 的空心圆截面，抗弯截面系数为 ( ) ( ) 4 3 4 4 1 32 2 1 64 = − − = D D D Wz ， D d = （6-11） 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 Wz 可从型钢表中查得。 对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力 点和最大压应力点分别进行校核。 根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算