电动力学习题解答参考 第二章静电场 4.均匀介质球(电容率为E1)的中心置一自由电偶极子P,球外充满了另一种介质(电 容率为E,,求空间各点的电势和极化电荷分布 提示:同上题,中“4m1R+p而φ满足拉普拉斯方程 2P cos 又 E1( 4IE Ro +∑14R 2P. cos0 ∑ B1 比较P(cosO)系数 2p 2 B +a A 及A1= 4z Ro Ro R 2(61-2)pf 2(E1-E2)P 得:A1 4m1(E1+252)R6 BI 4E1(E1+2E2) 比较P(cosO)的系数 241=-363,42=B Ro 及A2(1+--)=0 G, Ro 所以A2=0,B2=0。同理,A=B1=0,(=23…) 最后有 R 2(E-E) )P/-Rcos0 PrR 2(81-E2P. R R34ms(E1+2E2)R3 r 4TS, (& (R<R0) rR2(E1-E2) 中外 4xs1R34(6+2622brR,2(1-82)bR 4nE;R34x1(s1+262)R34m(+2P,(R>R)
电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 6 - 4 均匀介质球 电容率为 1 ε 的中心置一自由电偶极子 Pf r 球外充满了另一种介质 电 容率为 2 ε 求空间各点的电势和极化电荷分布 提示 同上题 ' 4 3 1 φ πε φ + ⋅ = R Pf R r r ,而φ'满足拉普拉斯方程 解 R ∂R ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 1 2 又 内 = − +∑ ∂ ∂ l l 1 3 l 0 1 0 f 1 1 l 4 2 cos ( 0 A R P R P R R πε θ ε φ ε = − −∑ ∂ ∂ 外 2 l l 0 l 3 1 0 f 2 2 (l 1 4 2 cos ( 0 P R B R P R R πε θ ε φ ε 比较 Pl (cosθ )系数 B0 0 A0 0 3 0 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 1 1 0 , 2 4 2 4 2 R B A R B R A R f f + = − − 及 = ε πε ε ρ ε π ρ 得 4 ( 2 ) 2( ) , 4 ( 2 ) 2( ) 1 1 2 1 2 1 3 1 1 2 0 1 2 1 πε ε ε ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ + − = + − = f f B R A 比较 P2 (cosθ )的系数 4 0 2 4 2 0 2 1 2 0 , 3 2 R B A R B ε A R = 及 ) 0 1 (1 1 0 2 + = R A ε 所以 A2 = 0, B2 = 0 同理 A = B = 0,(l = 2,3L) l l 最后有 ,( ) 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 3 1 1 2 0 1 2 3 1 R R R R R R R R R f R f f f < + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r 内 ,( ) 4 ( 2 ) 3 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 1 R R R R R R R R R R f R f f f f > + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ π ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r r r 外
电动力学习题解答参考 第二章静电场 球面上的极化电荷密度 dp=Bn-Pn,从2指向1,如果取外法线方向,则 Up=PB外n-P球n=(E2-60)中外)-(E1-60)V)n -(E2-E aR 6p cos 6(60-62)rcos62(s1-E E1+2E (E1-E 4r(E1+262)R3 4x(E1+2E2)R 65(50-62)+681E=(+2" 4ms1(E1+2E2)R3 求极化偶极子 P=ql可以看成两个点电荷相距,对每一个点电荷运用高斯定理,就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 qp=(20-11-9p=(20-1(-q),两者合起来就是极化偶极子 1) 5空心导体球壳地内外半径为R1和R2,球中心置一偶极子P,球壳上带电Q,求空间各点 电势和电荷分布。 V23=0.d→2=0 中2=C,2 P.r 1,,0为有限值 B ∑+1P(cosb, 2=C,4r=R=C 478 +∑4es)--8+fasA
电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 7 - 球面上的极化电荷密度 P P n P n n r , σ = 1 − 2 从 2 指向 1 如果取外法线方向 则 p P n P n n n [( ) )] [( ) )] σ = 外 − 球 = ε 2 − ε 0 ∇φ 外 − ε 1 − ε 0 ∇φ内 0 ( ) ( ) 2 0 1 0 R R R R 外 内 ∂ ∂ + − ∂ ∂ = − − φ ε ε φ ε ε cos ] 4 ( 2 ) 2( ) 2( 2 ) 4 ( 2 ) 6( ) cos ( )[ 4 ( 2 ) 6 cos ( ) 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 2 0 0 2 1 0 3 1 2 0 2 0 ρ θ πε ε ε ε ε ε ε π ε ε ε ε ρ θ ε ε π ε ε ρ θ ε ε f f f R R + R − − + − + − − − + − = − ρ θ πε ε ε ε ε ε ρ θ πε ε ε ε ε ε ε ε ε cos 2 ( 2 ) 3 ( ) cos 4 ( 2 ) 6 ( ) 6 ( ) 3 1 1 2 0 0 1 2 3 1 1 2 0 1 0 2 2 1 0 f f R + R − = − + − + − = 求极化偶极子 P ql f r r = 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 ( 1) , ( 1)( ) 1 0 1 0 P f P f q = − q −q = − −q ε ε ε ε 两者合起来就是极化偶极子 PP Pf r r ( 1) 1 0 = − ε ε 5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2 球中心置一偶极子 P r 球壳上带电 Q 求空间各点 电势和电荷分布 解 + ⋅ = = = ∞ ∇ = = → → →∞ 3 1 ' 1 ' 0为有限值 0 1 2 2 0 3 3 2 , 4 , 0, 0 r r r r P r C φ φ πε φ φ φ φ φ r r = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ⋅ = = = = ∑ ∫ ∫ ∑ = = = + − 0 3 1 3 0 1 2 2 3 1 3 2 1 1 2 (cos ) 4 , (cos ), ε φ φ θ πε φ φ φ φ θ φ Q dS r dS r A r P r P r C C P C r B l r R r R l l f r R l l r R l r r R2 R1 φ 3 φ 1 φ 2