(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1 的速度场由 v(x,y, )=P(x, y, ) i+e(, y, j+r(x, y, zk 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y, ),2(, y,), R(,,z) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量①
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o
1.分割把曲面Σ分成n小块△1(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5;,m5;), (,m,s;) 则该点流速为v 法向量为n
1. 分割 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , ) i i i , x y z o ni ( , , ) i i i i S i v 则该点流速为 . i v 法向量为 . ni
=ν(5;,m,5;) =P(5,m7,5)+Q(5,,5;)j+R(5,1,5)k, 该点处曲面∑的单位法向量 n:=cos a, i+cos B:j+cos y k, 通过△s,流向指定侧的流量的近似值为 v2·n△S2(=1,2,…,n) 2求和通过Σ流向指定侧的流量@≈∑nAS
( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i = + + = 该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i i i = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 = n i i ni Si v 1
∑P(5,m,41)c0sa1+Q(5,n,5)os月 +R(5;,7,5)c0sy;|S ∑|P(5,m,41)AS)+Q(,7,5)AS) +R(5;,,57)(△S) 3.取极限λ-0取极限得到流量Φ的精确值
i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + = + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 + = + = 3.取极限 → 0取极限得到流量的精确值
三、概念及性质 定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在∑上有 界,把Σ分成n小曲面△S,(△S同时又表示第 i块小曲面的面积),△S在xoy面上的投影为 (△S)s,(5,7,5;)是AS上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值元→0时, im∑R(5,m,4)△S)存在 则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对 坐标x,y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
三、概念及性质 定 义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有 界,把Σ分成n块小曲面Si(Si同时又表示第 i块小曲面的面积) ,Si在xoy面上的投影为 Si x y ( ) ,( , , ) i i i 是Si上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 → 0时, = → n i R i i i Si x y 1 0 lim ( , , )( ) 存 在, 则称此极限为函数R(x, y,z)在有向曲面Σ上对 坐 标x, y的曲面积分(也 称第二类曲面积分)