2.级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数∑un的部分和 数列S,有极限S,即lms,=s则称无穷级数 n→0 ∑n收敛,这时极限叫做级数∑n的和并 n=1 n 写成S=L1+u2+…+l2+ 如果s没有极限,则称无穷级数∑un发散 n=1
2. 级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数 n=1 un 的部分和 数 列 n s 有极限s, 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 un 收 敛,这时极限s叫做级数 n=1 un 的 和.并 写 成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 un 发散
即常数项级数收敛(发散)兮 lim s存在(不存在) n→0 余项m=S-5=m1+n2+…=∑um 甲sn≈S误差为rn(imrn=0 n→0 无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花
即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3 面积为413 第一次分叉: 周长为P2=P, 面积为A2=A1+3·0·A1;依次类推
观察雪花分形过程 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + = 面积为 周长为 依次类推
第n次分叉: 周长为 〃1Pn=1,2 面积为 An=An-1+3{4[(0"A1 9 A1+3·。A1+3.4 A1+…+3.4 9 A1+r1,1,4 +(m)2+…+()”2} 33939 39 2,3
第 n 次分叉： 周长为 ) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n 面积为 ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A n = 2,3,
于是有 limp=oo n→0 1 lm4=A(+,4)=4(+7/=23 5 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．