定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, 设imn (或 lima=P) n→> (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时R=+0; (3)当p=+∞时R=0 证明对级数∑a,x"应用达朗贝尔判别法 =0 n+1 …,x n+1 m=lim n+ x=plx, n→>0a,x
证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x , 定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ;
(1)如果im=p(≠0)存在, n→0 由比值审敛法,当|xk时级数∑anx收敛, =0 从而级数∑anx"绝对收敛 0 当|x>时,级数∑lanx发散, n=0 并且从某个n开始|an1x"|>anx"b,|anx|0 从而级数∑anx发散 n=0
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散