Mo 00 6r() (d) m2() + 图7-2抽样过程的时间函数及对应频谱图
图 7 –2 抽样过程的时间函数及对应频谱图 m(t) t M( ) － O H H T (t) t T ( ) T 2 t ms (t) O Ms ( ) H H T 2 (a) (b) (c) (d) (e) (f )
如果ω≤<2ωH,即抽样间隔T>1/(2f),则抽样后信号的频 谱在相邻的周期内发生混叠,如图7-示,此时不可能无 失真地重建原信号 因此必须要求满足T≤1/(2),m才能被m(t)完全确定,这就 证明了抽样定理。显然,T。是最大允许抽样间隔,它被 称为奈奎斯特间隔,相对应的最低抽样速率f。=2f1称为奈奎斯 特速率
如果ωs＜2ωH，即抽样间隔Ts＞1/(2fH)，则抽样后信号的频 谱在相邻的周期内发生混叠，如图 7 - 3 所示， 此时不可能无 失真地重建原信号。 因此必须要求满足Ts≤1/(2fH)，m(t)才能被ms (t)完全确定，这就 证明了抽样定理。显然，Ts = 是最大允许抽样间隔，它被 称为奈奎斯特间隔，相对应的最低抽样速率fs =2fH称为奈奎斯 特速率。 H 2 f 1 O Ms ( ) T 2
根据前面的分析,理想抽样与信号恢复的原理框图如图7 4所示。频域已证明,将M(o)通过截止频率为on的低通滤 波器后便可得到M(o)。显然,滤波器的这种作用等效于用 门函数D2oH(o)去乘M(o)。因此,由式(71-6)得到 )D,H(w) 所以M()=T[M(1)D2H(w) (71-8) 将时域卷积定理用于式(7.1-8),有 2)=T[m,(t)*S( )
根据前面的分析，理想抽样与信号恢复的原理框图如图 7 - 4 所示。 频域已证明，将Ms (ω)通过截止频率为ωH的低通滤 波器后便可得到M(ω)。显然，滤波器的这种作用等效于用一 门函数D2ωH(ω)去乘Ms (ω)。因此，由式（7.1 - 6）得到 所以 (7.1 - 8) 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s n M D H M n D H M w T T w w w w w w w ¥ = - ? = - = å 将时域卷积定理用于式（7.1 - 8）， 有 ( ) [ ( ) ( )] H s s a H w m t T m t S w t p = * 2 ( ) [ ( ) ( )] M T M D H w w w = s s w
m(t) )「低通1m(O 滤波器 (b) 图7-4理想抽样与信号恢复
图 7 – 4 理想抽样与信号恢复 × m(t) ms (t) T (t) (a) 低 通 滤波器 ms (t) m(t) (b)
由式(71-4)可知抽样后信号 (t)=a m(ntsd(t- nls) 所以 m(t=a m(nlsd(t-nTs *sa(wHt) a m(ntssalwH(t- nTs) n=-? sinwa(t-nTs)] a m(n WH(t-nfs) 式中,m(n是m(t)在tn(n=0,±1,±2,…)时刻的样值
由式（7.1 - 4）可知抽样后信号 ( ) ( ) ( ) s S S n m t m nT t nT d - ? = - ? = - å 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) S S H n m t m nT t nT Sa w t d - ? = - ? = - * å ( ) [ ( )] S H S n m nT Sa w t nT - ? = - ? = - å sin[ ( )] ( ) ( ) H S S n H S w t nT m nT w t nT - ? = - ? - = - å 式中, m(nTs )是m(t)在t=nTs (n=0, ±1, ±2, …)时刻的样值