7.1抽样定理 抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的 过程。能否由此样值序列重建原信号,是抽样定理要回答的问题 抽样定理的大意是,如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽 样,当抽样速率达到一定数值时,那么根据它的抽样值就能重建原信号。 也就是说,若要传输模拟信号,不一定要传输模拟信号本身,只需传输 按抽样定理得到的抽样值即可。因此,抽样定理是模拟信号数字化的理 论依据。 根据信号是低通型的还是带通型的,抽样定理分低通抽样定理和带 通抽样定理 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的,又分均勻抽样 定理和非均勻抽样; 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列,又可分理想抽样和 实际抽样
7.1 抽样定理 抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的 过程。能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。 抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽 样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。 也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输 按抽样定理得到的抽样值即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理 论依据。 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带 通抽样定理； 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样 定理和非均匀抽样； 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和 实际抽样
711低通抽样定理 个频带限制在(0,)赫内的时间连续信号m(1),如果以 T≤1(2Gl)秒的间隔对它进行等间隔(均匀)抽样,则m(1)将 被所得到的抽样值完全确定 此定理告诉我们:若m(1)的频谱在某一角频率0以上为 零,则m(1)中的全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2f秒 的均匀抽样序列里。 换句话说,在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样 两次。 或者说,抽样速率f(每秒内的抽样点数)应不小于2/m,若 抽样速率<2,则会产生失真,这种失真叫混叠失真
7.1.1 低通抽样定理 一个频带限制在(0, fH)赫内的时间连续信号m(t)，如果以 Ts≤1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则m(t)将 被所得到的抽样值完全确定。 此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一角频率ωH以上为 零，则m(t)中的全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2fH)秒 的均匀抽样序列里。 换句话说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样 两次。 或者说，抽样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于2fH，若 抽样速率f s＜2fH，则会产生失真，这种失真叫混叠失真
下面我们从频域角度来证明这个定理。 设抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列,它可以表示为 d()=a(t-nT。) (71 由于δ1(t)是周期性函数,它的频谱δ(o)必然是离散的, 不难求得 () 2兀S8( o-no w=2p f (7.1-2) 抽样过程可看成是m(t)与δ1(1)相乘,即抽样后的信号可 表示为 m()=m(1)7(t) (71-3)
(7.1 - 1) 由于δT (t)是周期性函数，它的频谱δT (ω)必然是离散的， (7.1 - 2) 抽样过程可看成是m(t)与δT (t)相乘，即抽样后的信号可 表示为 (7.1 - 3) 2 ( ) ( ) T s s n T − = − 2 2 s s s f T p w p = = ( ) ( ) T s d d t t nT ¥ - ? = - å 下面我们从频域角度来证明这个定理。 设抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列，它可以表示为 ( ) ( ) ( ) m t m t t s T =
根据冲击函数性质,m(t)与61t)相乘的结果也是一个冲 击序列,其冲击的强度等于m(t)在相应时刻的取值,即样值 m(nI)。因此抽样后信号mt)又可表示为 (t)=a m(nld(t-nt) (71-4) 上述关系的时间波形如图7-2(a)、(c)、(e)所示。 根据频率卷积定理,式(7.1-3)所表述的抽样后信号 的频谱为 (v)=[M(v)*d2(v (71-5) 2p 式中M(ω)是低通信号m()的频谱,其最高角频率为oH, 如图7-2(b)所示。将式(7.1-2)代入上式有
根据冲击函数性质， m(t)与δT (t)相乘的结果也是一个冲 击序列，其冲击的强度等于m(t)在相应时刻的取值， 即样值 m(nTs )。因此抽样后信号ms (t)又可表示为 (7.1 - 4) 上述关系的时间波形如图 7 - 2(a)、 (c)、 (e)所示。 根据频率卷积定理， 式（7.1 - 3）所表述的抽样后信号 (7.1 - 5) 式中M(ω)是低通信号m(t)的频谱，其最高角频率为ωH， 如图 7 - 2(b)所示。将式（7.1 - 2）代入上式有 1 ( ) [ ( )* ( )] 2 M M s T w w d w p = ( ) ( ) ( ) m t m nT t nT s s s d ¥ - ? = - å
( 由冲击卷积性质,上式可写成 M(w)==a M(w-nws (71-6) 抽样后信号的频谱M(o)由无限多个间隔为o的Mo)相叠加 而成,这意味着抽样后的信号m()包含了信号m()的全部信息。 如果o≥20 也目
由冲击卷积性质， 上式可写成 (7.1 - 6) 抽样后信号的频谱Ms (ω)由无限多个间隔为ωs的M(ω)相叠加 而成，这意味着抽样后的信号ms (t)包含了信号m(t)的全部信息。 如果ωs≥2ωH， 即 也即 (7.1 - 7) 1 ( ) [( ( )* ( )] s s n M M n T w w d w w ¥ = - ? = - å 1 ( ) ( ) s s n M M n T w w w ¥ = - ? = - å 1 2 s H T f 2 s H f f