自相似的数学描述 ◆自相似的特性 Hurst效应 ◆H表示 Hurst参数,自相关程度的度量 重新调制尺度权差(R/S)对于一个给定的观 察序列X,X2,Xs(m),则Rm)m) Xn,样本均值为X(n), 样本方差为 Is(nmax(0,Wu, w2 WI)-min(O, w W2…,W川,其中W=(X1+X2+X3…+X kX(n),k=1,2,3…n,R表示重新调整尺度 的极差 R/S: Rescaled adjusted range analysis 11
11 自相似的数学描述 自相似的特性 ◼ Hurst效应 H表示Hurst参数，自相关程度的度量 重新调制尺度权差(R/S)—对于一个给定的观 察序列X1 , X2 , X3 …..Xn，样本均值为X(n)， 样 本 方 差 为 S 2 (n) ， 则 R(n)/S(n) ＝ 1/S(n)[max(0, W1 , W2 , …, Wn )－min(0, W1 , W2 , …, Wn )]，其中Wk ＝(X1＋X2＋X3…..＋Xk ) －kX(n)，k＝1,2,3…n，R表示重新调整尺度 的极差 R/S: Rescaled adjusted range analysis
自相似的数学描述 ◆自相似的特性 Hurst效应 Hurs在1991年和1995年发现大多数自然产生的时间 序列满足ER(以)/S(m以]~cm,当n→∞,其中 Hurst参 数典型为073,c是与n无关的正常数 若观察序列取自一个短相关模型,曼德博罗等发现, 满足ER(m)/SYm小~dn25,当n-∞,其中与n无关的 正常数 上述两式的差异通常称之为赫斯特效应或赫斯特现 象 Hurst赫斯特英国的水文专家,长期从事尼罗河水坝工程研究 Mandelbrot墁曼德博罗—分形理论的创始人,美籍法国数学家 12
12 自相似的数学描述 自相似的特性 ◼ Hurst效应 Hurst在1991年和1995年发现大多数自然产生的时间 序列满足E[R(n)/S(n)]～cnH ，当n→∞，其中Hurst参 数典型为0.73，c是与n无关的正常数 若观察序列取自一个短相关模型，曼德博罗等发现， 满足E[R(n)/S(n)]～dn0.5 ，当n→∞，其中d与n无关的 正常数 上述两式的差异通常称之为赫斯特效应或赫斯特现 象 Hurst赫斯特—英国的水文专家，长期从事尼罗河水坝工程研究 Mandelbrot曼德博罗—分形理论的创始人，美籍法国数学家
自相似的数学描述 ◆自相似 ◆短相关 r(k)~k-L), p k→∞(0<阝<1), k→∞(0<p<1) 是慢变函数 ∠k r(k)=0 <∑kr(1<∞ wr(Xm)~am→B, var(m)bm m→)o(0<阝<1)n 13
13 自相似的数学描述 自相似 ◼ r(k) ～ k－βL1 (k)， k→∞(0＜β＜1)， L1是慢变函数 ◼ ∑k r(k)＝∞ ◼ var(X(m))～am－β， m→∞(0＜β＜1) 短相关 ◼ r(k)～ρ k ，当 k→∞(0＜ρ＜1) ◼ 0＜∑k r(k)＜∞ ◼ var(X(m))～bm－1 ， m→∞