自相似的数学描述 ◆自相似 条件1—针对一个平稳随机过程 X=(X:t=0,1,2,3.) 条件2其自相关函数满足rk~k-1(,当 k→>∞,其中0<β<1,L是慢变函数,即对所 有x>0,mim,L1(=1(常见的慢变函 数,如L1()=常数,L1()=∞g(0) 条件3-对X进行堆叠,堆叠产生的时间序列为 Xm=(Xkm):k=1,2,3..),其中 Xkm)=1/m(XAmm+1+…+Xm),k=1,2,3
6 自相似的数学描述 自相似 ◼ 条件1—针对一个平稳随机过程 X＝(Xt : t＝0,1,2,3…) ◼ 条件2—其自相关函数满足r(k) ～ k－βL1 (k)，当 k→∞，其中0＜β＜1，L1是慢变函数，即对所 有x＞0，limt→∞L1 (tx)/L1 (t)＝1（常见的慢变函 数，如L1 (t)＝常数，L1 (t)＝㏒(t)） ◼ 条件3-对X进行堆叠，堆叠产生的时间序列为 X(m)＝(Xk (m)：k＝1,2,3 …)，其中 Xk (m)＝1/m(Xkm-m+1＋ …＋Xkm)，k＝1, 2, 3, …
自相似的数学描述 ◆自相似( Exactly second order) self-similar Xm的自相关函数m满足:rm(4)=r(k),对所 有m=1,2,…,(k=1,2,3,…) ◆渐进自相似( Asymptotically second order,ser similar Xm的自相关函数rm满足: rm(1)→21-B-1,当 →00 rm(k)→1/262(k2=),当m→0(k=2,3,) 62表示一个算子符,其作用于函数(k)表示 62016)=f+1-2k)+f(k-1
7 自相似的数学描述 自相似(Exactly second order) self-similar ◼ X(m)的自相关函数r (m)满足：r (m) (k)＝r(k)，对所 有m＝1, 2, … (k＝1, 2, 3, …) 渐进自相似(Asymptotically second order) selfsimilar ◼ X(m)的自相关函数r (m)满足： r (m) (1)→2 1－β－1，当m→∞ r (m) (k)→1/2δ 2 (k2－β )，当m→∞ (k＝2, 3, …) δ 2表示一个算子符，其作用于函数 f(k)表示 δ 2 (f(k))＝f(k＋1)－2f(k)＋f(k－1)
自相似的数学描述 ◆自相似参数H H=1-B/2 r(k)~k-21L,(,当k→∞0 渐进自相似( asymptotically self- - similar) r(心)=12(k+1)2-2k2m+(k-1)2 严格自相似( exactly self- similar) 参数H满足05<H<1,参数H用来表示自相似 的程度
8 自相似的数学描述 自相似参数H ◼ H＝1－β/2 ◼ r(k)～k－(2-2H)L1 (k)，当k→∞ 渐进自相似(asymptotically self-similar) ◼ r(k)＝1/2[(k＋1) 2H－2k 2H＋(k－1) 2H] 严格自相似(exactly self-similar) ◼ 参数H满足0.5＜H＜1，参数H用来表示自相似 的程度
自相似的数学描述 ◆自相似的特性 长相关( LRD--long range dependence、 large scale correlation long term correlation 长相关定义—若一个随机过程满足自相似的条件1和 条件2,即其自相关函数随时滞的增加呈双曲线衰減 (幂律衰减),则该随机过程呈现长相关性 长相关≠自相似,自相似是长相关的特例/简单模型 不可和性,即∑kr(k=∞。不可和性的物理意义在于 高滞后的相关虽然是个别的小量,但其累计的结果 则十分重要 短相关过程( short-range dependence)自相关函数呈 指数衰减,即r(~pk,当k→(0<p<1),其自相 关函数是可和的,即0<∑r(k)<
9 自相似的数学描述 自相似的特性 ◼ 长相关（LRD—long range dependence、large scale correlation、long term correlation ） 长相关定义—若一个随机过程满足自相似的条件1和 条件2，即其自相关函数随时滞的增加呈双曲线衰减 （幂律衰减），则该随机过程呈现长相关性 长相关≠自相似，自相似是长相关的特例/简单模型 不可和性，即∑k r(k)＝∞。不可和性的物理意义在于 高滞后的相关虽然是个别的小量，但其累计的结果 则十分重要 短相关过程(short-range dependence)自相关函数呈 指数衰减，即r(k)～ρ k ，当k→∞(0＜ρ＜1)，其自相 关函数是可和的，即0＜∑k r(k)＜∞
自相似的数学描述 ◆自相似的特性 慢衰减方差 ◆自相似过程的方差满足wr(Xm)~am-B,当 m→>∞,其中0<β<1,a是与m无关的正常数, β与前条件2中阝相同 短相关过程的方差满足w(Xm)~bm-1,当 m→∞,其中b是与m无关的正常数 ◆自相似过程的方差衰减要慢于短相关过程 10
10 自相似的数学描述 自相似的特性 ◼ 慢衰减方差 自相似过程的方差满足var(X(m))～am－β，当 m→∞，其中0＜β＜1，a是与m无关的正常数， β与前条件2中β相同 短相关过程的方差满足var(X(m))～bm－1 ，当 m→∞，其中b是与m无关的正常数 自相似过程的方差衰减要慢于短相关过程