结论:函数f(x)在x处连续的充要条件是∫(x)在x处既 左连续又右连续.即 lim f(x)=f(r)s lim f(x)=lim f(x)=f(xo) x→x0 x→x0 定义若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续, 则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续 若函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点a 右连续,在右端点b左连续,则称函数f(x)在闭区间 a,b内连续
6 结论: 函数ƒ(x)在x0 处连续的充要条件是ƒ(x)在 x0 处既 左连续又右连续. 即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → − + = = 定义 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续; 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 ƒ(x) 在闭区间 [a , b] 内连续
例23.证明函数y=x2在(-∞,+∞)连续 例24.讨论函数在x=0处的连续性 (1)f(x)=x 1,x<0 (2)f(x)=sgn(x)={0,x=0; >0 SIn (3).f(x) yx≠0 0 0
7 1 , 0 (2). ( ) sgn( ) 0 , 0; 1 , 0 x f x x x x − = = = 2 1 sin , 0 (3). ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 例23. 证明函数 y = x2 在 (-∞, +∞) 连续. 例24. 讨论函数在 x = 0 处的连续性 (1). ( ) ; f x x =
0≤x<1 例25.讨论函数f(x21-x1sx2在x=1 处的连续性 解 f(=1 E lim f(x)=limx=1 x→1 x→1 im∫(x)=lim(2-x)=1 x-1 ∴Iimf(x)=f(1)=1 故f()在x=1处连续
8 例25. 讨论函数 在x = 1 2 0 1 ( ) 2 1 2 x x f x x x = − 解 (1) 1 f = 故 f x x ( ) 1 . 在 = 处连续 2 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − 且 = = 1 1 lim ( ) lim(2 ) 1 x x f x x → → + + = − = 1 lim ( ) (1) 1 x f x f → = = 处的连续性
3x2+x+1x<0 例26.设f(x)={k r=0 SIn +1x>0 当k为何值时,∫(x)在x=0点连续 解∵f(0)=k,且imf(x)=lim(3x2+x+1)=1 x→0 0 lim f(x)=lim(r+1=1 lim f(x)=lim f(x)=l 故当∫(0)=k=1时,f(x)在x=0处连续
9 例26.设 2 3 1 0 ( ) 0 sin 1 0 x x x f x k x x x x + + = = + 当 k 为何值时, ƒ(x)在 x = 0点连续. 解 2 0 0 (0) , lim ( ) lim(3 1) 1 x x f k f x x x → → − − = = + + = 且 故 当 f k f x x (0) 1 , ( ) 0 . = = = 时 在 处连续 0 0 sin lim ( ) lim( 1) 1 x x x f x x → → + + = + = 0 0 lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x = = → → − +
例27确定常数a,b,使f(x)=limx+ax+bx x2n+1 为连续函数 axton x<1 (a+b+1) (a-b-1) ∵.要使f(x)连续,则∫(x就必须在x=±1处连续。 lim f(r)=lim f(x)=f(1) 由 x→1 x→1+ 得 lim f(x)=lim f(x)=f(1)
10 例27 确定常数 a, b, 使 2 1 2 2 ( ) lim 1 n n n x ax bx f x x − → + + = + 为连续函数. 2 1 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 ax bx x x x f x a b x a b x + = + + = − − = − 解 ∴ 要使ƒ(x)连续，则ƒ(x)就必须在 x = ±1处连续。 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) , lim ( ) lim ( ) ( 1) x x x x f x f x f f x f x f − + − + → → → − → − = = = = − 由 得