量子力学 - 力学量与算符

第四讲力学量与算符（4课时）

第四讲 力学量与算符 （4课时）

1.算符的引入问题：一维粒子状态V（），位置平均值和动量平均值？位置平均值(x)=[-~1y(x)P -xdx位置函数的平均值( (x))= [~ (x)ly(x)P dx>动量平均值？?(px)=/ px / (x) P dx错误！函数Px没有定义，因为x处动量不确定

1.算符的引入 ➢ 位置平均值 ➢ 位置函数的平均值 ➢ 动量平均值？ 错误！函数 px 没有定义，因为x处动量不确定

1.算符的引入(p)利用动量空间态函数解决：#(p)= /*(p) po(p)dpI+00y(x)e-ipx/t dx2元h回到坐标空间：1oeipx/ndpp(p)元hdxy *(x)eipx/hpo(p)dp2元／ pp(p)elpx/n dpdxx2元hd-ihdx

1.算符的引入 ➢ 解决：利用动量空间态函数 ➢ 回到坐标空间： ( ) ( ) 1 / 2 * ipx x p p e dp  dx   + − + −  =       

1.算符的引入结论：动量算符引入(p)= [ y*(x)dx = (t y *(x)[py (x)|dx-5>推广：力学量用算符表示(F(r))= [- y*(r,p)[F(r,p)y(r)d'r算符构成：J(r,p)→F(r,-iV)，如哈密顿算符H实例：角动量L=r×p→角动量算符jkiyo,-zoL=rxp=zo.-xox=-in(iJZjkPxp, pxo-yo

1.算符的引入 ➢ 结论：动量算符引入 p x i x dx x p x dx * * ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) x     + + − −      = −                 ➢ 推广：力学量用算符表示 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ˆ F F d   * , , + − =      r r p r p r r

1.算符的引入力学量的方差：不确定度(F-(F)")= /(F2)-(F)2AF2n元sin》实例：一维势箱中粒子rV中aa4n元x)=x322hhn元AxAn?h?2123(p)=0,<p2)= 2mE,4a?nh2an元Ap2Ax=x32a2n元

1.算符的引入 ➢ 力学量的方差：不确定度 ( ) ( ) 2 2 2  = − = − F F F F F ➢ 实例：一维势箱中粒子 2 2 2 2 4 , 2 2 2 3 a a n x x n       = = −         p = 0, 2 2 2 2 2 , 2 3 a n x x x n    = − = − 2 nh p a  = 2 2 2 2 2 4 n n h p mE a = = 2 2 2 2 3 2 n x p    = − 