第九章几种典型的晶格统计模型9.1lsing模型平均场近似Ising模型是单轴离散自旋模型，它是最简单的铁磁-顺磁相变模型，自旋只能取+1或-1，哈密顿量为：H = -Jsis, - B≥s(s, =± 1)（）或写为：HKs;s, +h-BH :kT(j）这里我们只考虑最近邻相互作用及>0的情形。系统在正则系综里的配分函数为：e~HZ(K,h) = tre-HM二1s.1下面来求配分函数。引入变量晶格配位数Z。（每个自旋的最近邻数）和：N+：自旋取+1（向上）的自旋数目N-：自旋取一1（向下）的自旋数目N++：两自旋取+1的近自旋对数目N--：两自旋取一1的近邻自旋对数目N+-：自旋取+1j自旋取-1的近邻对数目
第九章 几种典型的晶格统计模型 9.1 Ising模型 平均场近似 Ising模型是单轴离散自旋模型，它是最简单的铁磁-顺磁相变模型，自旋只能取+1或-1，哈密 顿量为： 或写为： 这里我们只考虑最近邻相互作用及J>0的情形。系统在正则系综里的配分函数为： 下面来求配分函数。引入变量晶格配位数 (每个自旋的最近邻数) 和：
我们有：N.+N.=NZ.N,=2N.++N.-Z,N. =2N. +N.-上面的“2”由于每个N++（N_-）被记了两次。因此五个变量里只有两个是独立的，选取N++和N+为独立变量，我们有：N≥s.s, = N++ + N.- - N+ = 4N++ - 2ZN. + Z.9Zs,=N-N.=2N+-N故哈密顿量可写为：- βH= Kss, + hs. = K(4N+-2ZN,+ Z)+h(2N-N)()=-βH(N+,N++)BHg(N+,N+t)e-BH(N,.N.,)T配分函数为：Z=Is.N.NNN(Z,K-h)-2(ZK-h)NZg(N+,N..)e*N+*eV.=0V.这里g为有相同N++和N+的自旋哈密顿量的简并度。此时仍难以求解。下面介绍两种近似方法（均为平均场近似方法）：1）Bragg-Williams方法：N+=1(I+1)为方便定义一个量(-1≤≤1)NI=1时所有自旋取+1值；l=-1时所有自旋取-1值。于是磁化强度可写为：M=(N+-N-)=NI
我们有： 上面的“2”由于每个 被记了两次。因此五个变量里只有两个是独立的，选取 和 为独立变量，我们有： 故哈密顿量可写为： 配分函数为： 这里g为有相同 和 的自旋哈密顿量的简并度。 此时仍难以求解。下面介绍两种近似方法（均为平均场近似方法）： 1）Bragg-Williams方法： 为方便定义一个量I: I=1时所有自旋取+1值；I=-1时所有自旋取-1值。于是磁化强度可写为：
N++再定义为：(I+1)(-1≤I'≤1)Z.N/2类似易知I=1时所有自旋取+1值：I=-1时所有自旋取-1值。故哈密顿量为(4NNNBH+hNI5-21-1Z,K(2I-2I-1)+hNIZ.N/22NN.Bragg-Williams假定（忽略自旋间的短程关联）：NZ.N/2z,KI +hNI=-βH(I)于是哈密顿量：-βH=-2Zg(1) e-PH(1)配分函数为Z=N!N!对g()我们有：g(I)=N,！（N-N,[E(1+]:[(1-)]!z.KP+hNI带入z的表达式有：N!exp1Z=(1+)[N(1-]当N8时，1nZ可用其中最大的一项的对数来代替，故由斯特林公式有：1+i1+1_1-11-iNln Z=+z,Ki +In22222上式由0lnZ/81=0可解得1，结果为（磁化强度方程)：BZJI=tanh
再定义I’为： 类似易知I’=1时所有自旋取+1值；I’=-1时所有自旋取-1值。故哈密顿量为 Bragg-Williams假定（忽略自旋间的短程关联）： 于是哈密顿量： 配分函数为 对g(I)我们有： 带入Z的表达式有： 当N→∞时，ln Z可用其中最大的一项的对数来代替，故由斯特林公式有： 上式由 可解得 ，结果为(磁化强度方程)：
f()Z.Jf(i)-1B=0时用图解法解这个方程，可得「=01k.T(±1.ZJkT0-1。其中第二式=0不对应于自由能极小值。亨oi.由这两式可得临界温度为：)ZgJf(i)=tanh1ZJk.7T.=-kf(i)=tanh(>0(当 T>T)并且 1I.(T)4±i.(当 T<T)在两种情形下，我们还有：2TI.~1-2eT(当 T→0)1.~ [3(1-T)]"[当0<(1-)<1]0TTe对序参量M我们有：1/2-T1-11/2M= NI.T.因此其对应的临界指数β=1/2。内能和比热为：(T>T。)00(T>T)C(T)=ZJ di?(T)NkBZJr(T<T.)L(T<T)dTI22
B=0时用图解法解这个方程，可得 其中第二式 不对应于自由能极小值。 由这两式可得临界温度为： 并且 在两种情形下，我们还有： 对序参量M我们有： 因此其对应的临界指数β=1/2。 内能和比热为：
B1当B>0时，K<1,故我们有i~Tk. T-BNM=NI~T-TkeNamα(T-T)-1磁化率：XaBk.(T-T)故临界指数y=1。再利用tanh(α）=一α3+..，我们发现在T=T.时，M(T.,0)=NIo B3因此临界指数8=3。这些临界指数与维数无关，且与朗道平均场理论结果完全一致2）Bethe-Peierls方法（考虑了最近邻相互作用）：考虑“浸没”在晶格里的自旋集团，它由中心自旋80和Z。个最近1邻组成，它们间的相互作用为，最近邻自旋和系统中其>,sas它自旋间的相互作用只通过一个平均场m来计入，因此这样一个含Zg+1个自旋的哈密顿量可写为：z.Hz+1 =-Bso-(B + m)J>,SosS:-该自旋集团的配分函数为（这里α=m'β）：3ZZ=ZZexp[hso+(h+α)+ Ksos,$o±1
当B→0时，I<<1,故我们有 磁化率： 故临界指数γ=1。再利用 ，我们发现在 时， 因此临界指数δ=3。这些临界指数与维数无关，且与朗道平均场理论结果完全一致。 2）Bethe-Peierls方法（考虑了最近邻相互作用）： 考虑“浸没”在晶格里的自旋集团，它由中心自旋 和 个最近 邻组成，它们间的相互作用为 ，最近邻自旋和系统中其 它自旋间的相互作用只通过一个平均场m’来计入，因此这样一 个含 个自旋的哈密顿量可写为： 该自旋集团的配分函数为（这里α’=m’β）：