统计物理学 - 费米系统与理想费米气体

第七章费米系统7.1理想费米气体的一般性质在3.7节我们获得了理想费米气体的物态方程：。n(-)dar in(+en")-pkg=Jsn2(=),S/(-1)/+1_x4dxJs/2(=) =3/2(=),f2(=)=73/2D23azVnzer+1E现在我们从这两个方程出发讨论其一般性质。记v=lnz=u/k.T)，我们有2f32(2(ey- +1)2+13/+13.34: :-1/2112.83元／元22-V+183./o.2(e+上式第一行最后一式我们利用了分布积分。第二行我们把在v处作了泰勒展开。由于=-「，第二个积分值的量级为e",因此e4343(103/2 +21/2 +3)1.y-1/2+-172di+0(e-")tO(e-")=Js/2(=) =83元3/元(e' +1)?28t"t"e'dt这里1，由对称性知对奇数n此积分为零。并易知I。=1，对偶数n，+l+e(e'+l)O=(n-1)!(2n)(1-2l-")(n)ane"+]74元这里5(m)是黎曼Zeta函数，一些低阶值为：5(2)=～,(4)S(6)909456因此3/2(=)可写为如下的形式：4+0(2-J312(z):(lnz)Inz)-13元8

第七章 费米系统 7.1 理想费米气体的一般性质 在3.7节我们获得了理想费米气体的物态方程： 现在我们从这两个方程出发讨论其一般性质。记 ，我们有 上式第一行最后一式我们利用了分布积分。 第二行我们把 在v处作了泰勒展开。由于 ，第二个积分值的量级为 ,因此 这里 。由对称性知对奇数n此积分为零。并易知 ，对偶数n, 这里 是黎曼Zeta函数，一些低阶值为： 因此 可写为如下的形式：     − = + =   = = − = = + =      = +  −  = +  − 1 3/ 2 1 0 1 2 3 3/ 2 3/ 2 5/ 2 1 5/ 2 1 0 2 3 5/ 2 5/ 2 ( 1) 1 4 ( ), ( ) ( ) 1 1 ( 1) ln(1 ) 4 ( ), ( ) 1 2 2 l l l x l l l x B l z z e x f z dx z f z f z z l z f z f z dxx ze k T P      v ln z /(k T) = =  B       + + + + =      + − + − + + = + = + = + = −  − −  − −  − −  −  −      3/ 2 1/ 2 1/ 2 2  2 3/ 2 1/ 2 1/ 2 2  0 2 0 2 3/ 2 0 0 2 3/ 2 8 3 2 3 3 ( 1) 4 ( ) 8 3 ( ) 2 3 3 ( 1) 4 3 ( 1) 4 1 2 1 4 ( ) 2 v v t v t e e v v y v v y v dt e e dy e y e dy e y dy e x f z dx v t t y v y v y v y v x v y v      3/ 2 y    − −  −  − = − v v   v e − ( ) 8 3 2 3 3 4 ( ) 8 3 2 3 3 ( 1) 4 ( ) 1/ 2 2 1/ 2 1 3/ 2 0 3/ 2 1/ 2 1/ 2 2 3/ 2 2 v v t t v v t v t O e I v I v I v O e e e f z dt − − − −  −  +      + = + + +       + + + + =        − −  − + + = + = t t n t n t n e e t dt e t e I dt ( 1) 1 2 1 I 0 = ( 1)!(2 )(1 2 ) ( ) 1 2 1 2 1 0 1 1 0 1 n n n e u n du e t I dt n u n t n n     −  − =  − = − − +  =       +  = −    (n) , 945 , (6) 90 , (4) 6 (2) 2 4 6       = = = ( ) 3/ 2 f z (ln ) ( ) 8 (ln ) 3 4 ( ) 1/ 2 1 2 3/ 2 3/ 2 − −  +      f z = z + z + O z  

232由=n(=)易知是z的单调递增函数；对确定的值，由于αT-"2，z将随T减少而增加。我们下面考虑两种极限情形：23)22311．高温和低密度情况（此时二<<1）。反解状态方程可得：≥=23/20U只取上式第一项，并带入到另一状态方程可得：sn(8)=PUUf25/21)上式右边形式上是维里展开。只取上式右边第一项即得理想玻尔兹曼气体的状态方程，取到第二项可得对经典理想气体的量子修正（不是来自于粒子间的相互作用）。232．低温和高密度情况（此时～》l）。这时粒子间距离u""远小于热波长入，量子效应（特别是泡利不相容原理）很重要。由前页公式，我们有（保留到第一项）：见_1(2元4(Inz)3/23V元mk,TUU由此我们可得费米能(Fermienergy，近似为绝对零度时的化学势）：13h26元kTIn==u=EF2mlC1由绝对零度附近的分布函数可得6r的物理意义：<n,）=,-)+如<6F，当T>0时n）=1；如6>6则有n=0。由于泡利不相容原理的限制，这表明在基态时，N个粒子将占据最低可能的能态，直到某个有限能级为止。在动量空间里，这些粒子将填充一个半径为PF的球，其表面称为费米球（Fermisurface）

由 易知 是z的单调递增函数；对确定的 值，由于 ，z将随T减少而增加。 我们下面考虑两种极限情形： 1. 高温和低密度情况（此时 ）。反解状态方程可得： 只取上式第一项，并带入到另一状态方程可得： 上式右边形式上是维里展开。只取上式右边第一项即得理想玻尔兹曼气体的状态方程， 取到第二项可得对经典理想气体的量子修正（不是来自于粒子间的相互作用）。 2. 低温和高密度情况（此时 ）。这时粒子间距离 远小于热波长λ，量子效应（特 别是泡利不相容原理）很重要。由前页公式，我们有（保留到第一项）： 由此我们可得费米能(Fermi energy，近似为绝对零度时的化学势)： 由绝对零度附近的分布函数可得 的物理意义： 如 ，当T→0时 ；如 则有 。 由于泡利不相容原理的限制，这表明在基态时，N个粒子将占据最低可能的能态，直到 某 个有限能级 为止。在动量空间里，这些粒子将填充一个半径为 的球，其表面称 为费米球（Fermi surface）。 ( ) 3/ 2 3 = f z     3  −1/ 2   T 1 3     +      = + 2 3 3/ 2 3 2 1     z  +      = = − 2 3 3 5/ 2 3 3 5/ 2 3 2 1 ( )            f z k T P B 1 3    1/3  3/ 2 3/ 2 3 2 (ln ) 3 1 2 4 z mkBT             =  B F m k T z            =  2/3 2 2 6 2 ln  F  1 1 ( ) +   = p − F e np    p F    np  =1 p F    np  = 0 F  pF

下面我们根据这一解释，可在更一般的情形下独立地求费米能。如每个粒子能级为g重简并。确定8的方程为：gZ<n,)T=0 = Nh2g4元3-N在s，下的能量有N个态，令Er=P/（2m)，有：2m）2mVgu由上式即可得我们前页得到的的表达式（g=1时）。低温和高密度时的热力学函数通过F我们可以把前面获得的状态方程改写为："=)++由上可得：H=6我们可以定义费米温度（或简并温度）：kT，=8，低温和高密度的意义因此为T<<TE，这时气体可看作简并的，因为所有粒子都尽可能占据最低能级。平均填布数为：由上面的公式确定。<np)<n.3N5元内能为：U=<nh32m1256FOK其中第一项为费米气体的基态能。元2k工，由激发的粒子贡献，其数目的定容比热为：CvT>0KNkg26F数量级为k.T。EF2U28F5元物态方程现可写为：3 V512V6F

下面我们根据这一解释，可在更一般的情形下独立地求费米能。如每个粒子能级为g重简并。 确定 的方程为： 在 下的能量有N个态，令 ，有： 由上式即可得我们前页得到的 的表达式（g=1时）。 低温和高密度时的热力学函数 通过 我们可以把前面获得的状态方程改写为： 由上可得： 我们可以定义费米温度（或简并温度）： ，低温和高密度的意义因此为 ，这 时气体可看作简并的，因为所有粒子都尽可能占据最低能级。 平均填布数为： ，μ由上面的公式确定。 内能为： 其中第一项为费米气体的基态能。 定容比热为： ，由激发的粒子贡献，其数目的 数量级为 。 物态方程现可写为： F  g n N p  p  T =0 = F  /(2 ) 2  F = pF m 2/3 2 2 3 3 6 2 1 3 4 (2 )       = =  =       V m g N p g F F   F  F      +        = +      = + + −   2 2 2 2 3/ 2 2 3/ 2 3/ 2 8 ( ) ( ln ) 1 8 ( ln ) 1      k T k T z k T k T z B F B B B       +       = −  2 2 12 1 F B F k T     BTF F k =  T  TF 1 1 ( ) +   =   p − e np       +       =   =   = +    2 2 0 4 3 12 5 1 5 3 2 4 F B p F p p p N k T dpp n h m V U n      F B B V k T Nk C   2 2  kBT       +       = = +  2 2 12 5 1 5 2 3 2 F F kBT V U P    

7.2白矮星的统计平衡这是费米一狄拉克统计在天体物理的第一个应用。白矮星的特点：由质量M=10"g~Msm的组成的高密度的球（密度P~10°g/cm~10°psm），球中心温度为T~107K~T~1KeV，这个能量比电离氢原子所需能量大很多，因此白矮星里的氮是完全电离的。由于费米能8~h2(2mu2/3）~20MeV，费米温度T，10K远大于白矮星温度，我们可把白矮星看作由N个处于基态的相对论性电子组成的费米系统，电子在N/2个不动的氮核背景中运动，而氨核的引力使得整个系统约束在一起。基态相对论性电子气体的压强：单电子的状态由动量p和自旋S=±1/2表征，而其能级与自旋无关。单电子能量为：8= /(pc)2 +(m,c2)2,由此可得费米气体的基态能：x=22(pe)+(m.cy-"dp4mpe)+(m.cy1.3Ip<prV（4元-α=P=3元对费米动量我们有：=PEm.csEo引入积分变数x=p/(m.c)，可得：uf(xp)N元h313这里(Xp <<1)-XFF103/1+ x2dxxf(xp)=1(xp>>1)4YhPFXE=mcm.c

7.2白矮星的统计平衡 这是费米－狄拉克统计在天体物理的第一个应用。 白矮星的特点：由质量 的氦组成的高密度的球（密度 ）， 球中心温度为 ，这个能量比电离氦原子所需能量大很多，因此白矮星里 的氦是完全电离的。由于费米能 ，费米温度 远大于白矮 星温度，我们可把白矮星看作由N个处于基态的相对论性电子组成的费米系统，电子在N/2 个不动的氦核背景中运动，而氦核的引力使得整个系统约束在一起。 基态相对论性电子气体的压强： 单电子的状态由动量p和自旋 表征，而其能级与自旋无关。单电子能量为： 由此可得费米气体的基态能： 对费米动量我们有： 引入积分变数 ，可得： 这里 Msun M  g  33 10 sun  g cm  7 3 7 10 / 10 T 10 K Tsun 1KeV 7    F /(2m ) 20MeV 2 2/3      TF K 11 10 s = 1/ 2 ( ) ( ) , 2 2 2 pc m c ps = + e    = + = +  F F p e p p e dp p pc m c h V E pc m c 0 2 2 2 2 3 | | 2 2 2 0 4 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( )  1/3 2 3 3 3 3 2 4        =  =         F pF  N p h V x p /(m c) = e ( ) 2 3 4 5 0 F e f x m c N E    =             + +        + + = + =  ( 1) 1 1 4 1 ( 1) 10 3 1 3 1 ( ) 1 2 4 3 2 0 2 2 F F F F F F x F x x x x x x f x dxx x F   1/3 2 3        =   m c m c p x e e F F 

设白矮星总质量为M，半径为R，则M=(m.+2m)N~2m,N，R=这单m，是质子的质量。因此我们有：8元m,R33MMV3h1(9元MR这里M=9元MR=Xp:.RmcR8mg8mp(h/m,c)因此费米气体的压强为：m'csaEaf(x).axmcPo=/1+x -f(x)f(xe元h3avaxF元3av4kMS/3m.cs(nonrel.:x,<<1)Rs15元h5M4/3M2/3)m'csx2)=rel.: x, >>1)(extremeR2R412元h3m.c0这里K=！12元h白矮星的平衡条件：如没有引力，系统将是无限稀松的均匀气体。为把星体从此状态压到有限密度的球体，外力作的功为：-P.4元r2dr，这里P是均匀气体的压强。其次，设想加入引力，引力使得星体各部分相互吸引，结果使星的能量减小，减小的能量为引力自能。以量纲分析引力自能有如下形式：-αM-/R，这里为引力常数。如R为平衡半径，引力自能刚好抵消把星体压缩作的功：【P4mrdr=-αyM?/R，对R微分即得平衡条件：(8mM?,MP=αM?αm.cR4R44元R44元9元h

设白矮星总质量为M，半径为R，则 这里 是质子的质量。因此我们有： ，这里 因此费米气体的压强为： 这里 白矮星的平衡条件： 如没有引力，系统将是无限稀松的均匀气体。为把星体从此状态压到有限密度的球体，外 力作的功为： ，这里 是均匀气体的压强。其次，设想加入引力，引力使得星体 各部分相互吸引，结果使星的能量减小，减小的能量为引力自能。以量纲分析引力自能有 如下形式： ，这里γ为引力常数。如R为平衡半径，引力自能刚好抵消把星体压缩作 的功： ，对R微分即得平衡条件： 1/3 4 3 ( 2 ) 2 ,       = +  =  V M me mp N mpN R mp R M m M m c R x M m R e p F p 1/3 1/3 3 8 1 9 , 3 8        = =     ( / ) , 8 9 m c R R m M M p  e                − = −       =                = + −          = − −   = − ( ) ( .: 1) 12 ( .: 1) 5 4 15 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 2 2/3 4 4/3 4 2 2 3 4 5 5 5/3 5 2 3 4 5 3 2 2 3 4 5 2 3 4 5 0 0 F F F e F F e F F F F e F F F e extreme rel x R M R M x x K m c nonrel x R M x K m c x x f x x m c x f x f x m c V E P           3 2 2 12         m c m c K e e   − R P r dr 2 0 4 P0 M / R 2 − P r dr M R R 4 / 2 2 0  = −  4 2 4 2 2 4 4 2 0 9 8 4 4 R M K R m m c M R M P p e  =             = =        