ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 教 双边拉氏变换的定义: 师 王阎 鸿 X(s)= x(t)e sdt 霞森 副教 教授 称为x(的双边拉氏变换,其中S=q+jio 授 若a=0s则裔X(0)0x()c-mc 这就是x的傅里叶变换。 表明:连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在σ=或是在轴的特例
一.双边拉氏变换的定义： ( ) ( ) st X s x t e dt − − = 称为 x t( ) 的双边拉氏变换，其中 s j = + 。 若 = ， 0 s j 则有 = : ( ) ( ) j t X j x t e dt − − = 这就是 x t( ) 的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 = 或是在 0 轴上的特例。 j
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 藪由于X(s)=x(lemt=[x(o) e o e oat 师 王阎 鸿 FLx(te j 霞森 瑟接所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,x(的 授 拉氏变换就是x(t)的傅里叶变换。只要有合适的 存在a就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的 信号在引入后满是该条件。即有当信号的傅氏 变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变 换比傅里叶变换有更广泛的适用性
( ) ( ) [ ( ) ] t j t t j t X s x t e e dt x t e e dt − − − − − − = = [ ( ) ]t x t e− = F [ 由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的 拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的 信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏 变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变 换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 x t( ) t e − ( ) t x t e−
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 速例1.x(t)=e“l() 师 王阎 鸿 X(s)=heed=he-(stay dt=s+a 0 霞森 副教 教授 在Re[时q积分收敛 授 当a>时,的傅里叶变换存在 X(o)=e“emat a> a+10 显然,在a>时,拉氏变换收敛的区域为 ReS]>包括了即0轴)
( ) ( ) at x t e u t − 例1. = ( ) 0 0 1 ( ) at st s a t X s e e dt e dt s a − − − + = = = + 在 Re[ ]s a − 时，积分收敛。 当 a 时， 0 的傅里叶变换存在 x t( ) 0 1 ( ) at j t X j e e dt a j − − = = + ( 0) a 显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了 （即 轴）。 a 0 Re[ ]s a − = 0 j
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 鏤比较X(积X(然有 师 王霞 间 鸿 X()=m=X(0) 数投当a脑时,x(t)=eal(t)=l(t) 可知(4)<>一Re[s]>0 例2.x(1)=-elv(-t) X(3)= Rels<-a sta 与例1比较,区别仅在于收敛城不同
比较 X s( ) 和 X j ，显然有 ( ) ( ) ( ) X s X j s j = = 当 时， ( ) ( ) ( ) at x t e u t u t − a = 0 = = 1 u t( ) s 可知 Re[ ] 0 s 例2. ( ) ( ) at x t e u t − = − − 0 0 ( ) 1 ( ) at st s a t X s e e dt e dt s a − − − + − − = − = − = + Re[ ]s a − 与例1.比较，区别仅在于收敛域不同
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 被由以上例子,可以看出 师 王1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 霞森 副数非任何信号的拉氏变换都存在,也不是S平面上 教授 授 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2.使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合,称 为拉氏变换的收敛城。拉氏变换的收敛域ROC Region of Convergence)对拉氏变换是非常重 要的概念
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念