第二章优化设计的数学基础 机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上 无约束优化问题就是数学上的无条件极 值问题 约束优化问题则是数学上的条件极值问 题
第二章 优化设计的数学基础 • 机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上 • 无约束优化问题就是数学上的无条件极 值问题 • 约束优化问题则是数学上的条件极值问 题
多元函数的方向导数与梯度 1.方向导数 1)函数的偏导数就是这个函数对自变量的变化率 二元函数f(x1,x2)在x0(x10,x20)处的偏导数定义为 lim f(x10Dx1,x20)-f(x10,x20) 1 lo Dx1?0 131 o im f(x103 120 Dx2)-f(x10,x20) of ?0 T n元函数f(X)在X0= 0)(0) (0) 2 处 沿各坐标轴的一阶偏导数或变化率分别为 (0) )f(x0),?f(x ox
一.多元函数的方向导数与梯度 1)函数的偏导数就是这个函数对自变量的变化率。 ( ) ( ) 1 2 0 10 20 二元函数f x x x x x , , 在 处的偏导数定义为 ( ) ( ) 1 0 10 1 20 10 20 0 1 1 , , lim x x f f x x x f x x x x D ? ? D - = 禗 ( ) ( ) 2 0 10 20 2 10 20 0 2 2 , , lim x x f f x x x f x x x x D ? ? D - = 禗 ( ) ( ) ( ) ( ) T 0 0 0 n f X X x x x 元函数 在 0 = 轾犏臌1 2 L n 处 沿各坐标轴的一阶偏导数或变化率分别为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 n f f f x x x 抖 ? 抖 ? L x x x ， ， ， 1. 方向导数
2)二元函数的方向导数 即沿某一方向d的变 化率,定义为 lim f(x1o Dxix20+ Dx2)-f(x103*20 2 褪 Dd? o 3方向导数与偏导数的 x20 2 关系拼 coSg t cOS q O x 几n元函数的方向导数二维空间中的方向 拌 拌 n 拟=x109+排209+L+ cos an= a ? cos gi
2) 二元函数的方向导数 即沿某一方向d 的变 化率，定义为 3.方向导数与偏导数的 关系 O x2 x10 x1 x20 x0 x1 x2 d x d 二维空间中的方向 1 2 ( ) ( ) 0 10 1 20 2 10 20 0 , , lim d x f f x x x x f x x d d D ? ? D + D - = 禗 0 0 0 1 2 1 2 cos cos x x x f f f d x x q q 抖 ? = + 抖 ? 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 cos cos cos cos n n i x x x x x n i i f f f f f d x x x x q q q q = 抖 抖 ? = + + + = 抖 抖 ? L å n元函数的方向导数
2.二元函数的梯度 1)二元函数f(x1,x2)在x0(x10,x20)处的方向导数可写为如下的形式 ps q1 coSq扑 cos gh 2 xo 1x2 q 令押(xo) g1 ro os g 2 称为d方向单位向量 称为函数f(x1,x2)在x0(x10,x20)处的梯度 f(xo) 投影形式 蜒f(xo川|cos(f,d)
2. 二元函数的梯度 1)二元函数 在 处的方向导数可写为如下的形式 ( ) ( ) 1 2 0 10 20 f x x x x x , , 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 2 cos cos cos cos x x x x f f f f f d x x x x q q q q 抖 抖 轾 ? 轾 = + = 犏 犏 抖 抖 犏臌 ? 犏犏臌 ( ) ( ) ( ) 0 0 T 1 0 1 2 2 1 2 0 10 20 , , x x f x f f f x f x x x f x x x x x 轾¶ 犏犏¶ 轾抖 押 犏 = 犏 犏¶ 犏臌抖 犏臌¶ 令 称为函数 在 处的梯度 1 2 cos cos d q q 轾 = 犏犏犏臌 称为d方向单位向量 ( ) 0 T 0 x f f x d ¶ = ? ¶ d ( ) ( ) 0 0 cos , x f f x f d ¶ = 蜒 ¶ d 投影形式
2)二元函数梯度的几何解释 vf(xo) 最速上升方向 VfO) 上升方向 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 梯度方向与等值线的关系
2)二元函数梯度的几何解释 O x2 x1 x0 变化率为零的方向 最速下降方向 下降方向 上升方向 最速上升方向 －f(x0 ) f(x0 ) 梯度方向与等值线的关系