S2=01C2=1S3=0:C3=C3+01S4=0IC4S5=CC5=Cs+hS6=01C6= C3+1即只有是独立的点群，其余Sn可化为."或C+i,C+"有些教科书定义的是反轴In，即先进行旋再进行反演的联合操作。与Sn点群相同，也只有是独立点群。它们之间既有联系，又相互包含，故只需一套就够了，对分子多用Sn群对晶体多用In群。Sn群与In群的关系如下：1i = S512 = STIs=Sgl=iCi =1ls=iC,=C, +i12 =1C2= 01,= Ssg=S314= S414=iC4I,=iC, =Cs +iI.=iC。=C+0具有映轴S4的分子四、群的定义1.群的定义：一组元素集合若满足以下四个条件，则组成一个数学群：①集合中任意两个元素的乘积（包括一个元素的平方）必为群中的一个元素。一群的封闭性②集合中必有一个元素可与其它所有元素交换，并使它们不变，通常称之为恒等元素E。③乘法结合律成立，即（AB）C=A(BC)。④每个元素都有一个逆元素，它也是群的元素，若RS=E，则R,S互为逆元素，有些元素本身为自己的逆。即T?=E
即只有 是独立的点群，其余 Sn 可化为 或 有些教科书定义的是反轴 In，即先进行旋转 再进行反演的联合操作。与 Sn 点群相同，也只有 是独立点群。它们之间既有联系，又相互包含，故只需选择 一套就够了，对分子多用 Sn 群，对晶体多用 In 群。Sn 群与 In 群的关系如下： 具有映轴 S4的分子 四、群的定义 1．群的定义： 一组元素集合若满足以下四个条件，则组成一个数学群： ①集合中任意两个元素的乘积（包括一个元素的平方）必为群中的一个元素。──群的封闭性 ②集合中必有一个元素可与其它所有元素交换，并使它们不变，通常称之为恒等元素 E。 ③乘法结合律成立，即（AB）C = A(BC)。 ④每个元素都有一个逆元素，它也是群的元素，若 RS=E，则 R,S 互为逆元素，有些元素本身为自己的逆。 即
现以 NH;分子为例说明。 NIH；存在一个通过 N的‘3 轴，旋转C).C 分子都能与原来图象重合，我们说NH子至少能存在一个C群。包含B.C),C3三个群元素。可检验它是否满足条件：①Cf.cg-Cj=ECfc,-cgCg cg=c!即分子先绕轴旋转120度，再转240度，共转360度等于恒等元素；分子绕轴转240度，再转240度，等轴转动480度，扣去360度，相当于绕轴转动120度。一满足封闭性②群中存在恒等元素E。O(C, c)Cy =Ck(Cg c)，乘法结合律成立。C2①因为℃cj=E，所以与互为道元素，则四个条件都满足，所以 CF C 三个元素组成一个C群。2.群的乘法仍以NH：为例。实际上NH；除了存在轴外，还存在经过轴与NH1键的平面。通过平面反映，可-NH2键反映到NH3键，同理还有经过?轴与NH2键的°平面，经过轴与NH3的，共有三个垂直面，相交于3轴，现在我们来做它的乘法表。①首先，根据恒等元素与任何元素相乘，等于它本身可写出第一行与第一列，再根据3群中的结果可写！法表左上角的结果。F)C!Co:o!,c!EEa,TvC!C!C3[a]CC3C!EGvo,a;;OT
现以 分子为例说明。 存在一个通过 N 的 轴，旋转 分子都能与原来图象重合，我们说 分 子至少能存在一个 群，包含 三个群元素。可检验它是否满足条件： ① 即分子先绕轴旋转 120 度，再转 240 度，共转 360 度等于恒等元素；分子绕轴转 240 度，再转 240 度，等于绕 轴转动 480 度，扣去 360 度，相当于绕轴转动 120 度。──满足封闭性 ②群中存在恒等元素 E。 ③ ，乘法结合律成立。 ④因为 ，所以 与 互为逆元素，则四个条件都满足，所以 三个元素组成一个 群。 2．群的乘法 仍以 为例。实际上 除了存在 轴外，还存在经过 轴与 键的 平面。通过平面反映，可将 键反映到 键，同理还有经过 轴与 键的 平面，经过 轴与 的 ，共有三个垂直平 面，相交于 轴，现在我们来做它的乘法表。 ①首先，根据恒等元素与任何元素相乘，等于它本身可写出第一行与第一列，再根据 群中的结果可写出乘 法表左上角的结果
②第二步，进行右上角的乘法，NH3分子进行反映，N和H1保持不变，H2与H3互换位置，再绕：转120度，则N还是不变，H2到H1位置，H1到H2位置，H3回到原位置，两个操作的净结果，相当于平面反映....可写出右上角的九个结果。③同理也可写出左下角的九个结果。C![] aaovC!Co;a;E[] OvC!C!CEaa:avCCC!Eo1aayo!aavGvaa;avo1a,G,最后1/4乘法表是平面相乘，每个平面与自己相乘的结果是恒等元素，NH：分子进行反映，则N子保持不变。H3 还在H1的位置，H2到了H3的位置，H1到了 H2的位置，净结果相当于一个C3的旋转。M分子先进行反映，再进行反映，净结果相当于分子旋转 240度（）。…同理可得到平面相乘结转2%。这样，我们做出了是旋转7C3点群的乘法表C3v点群的乘法表C]C!o;ooc!C2oiEEa;avC!C!c?Ea:a,CC!C2Eaa;avC!Caa;EGvGC3C!a;a;asEa
②第二步，进行右上角的乘法， 分子进行 反映，N 和 H1 保持不变，H2 与 H3 互换位置，再绕 轴旋 转 120 度，则 N 还是不变，H2 到 H1 位置，H1 到 H2 位置，H3 回到原位置，两个操作的净结果，相当于一个 平面反映.可写出右上角的九个结果。 ③同理也可写出左下角的九个结果。 ④最后 1/4 乘法表是 平面相乘，每个平面与自己相乘的结果是恒等元素， 分子进行 反映，则 N 原 子保持不变。H3 还在 H1 的位置，H2 到了 H3 的位置，H1 到了 H2 的位置，净结果相当于一个 的旋转。 分子先进行 反映，再进行 反映，净结果相当于分子旋转 240 度（ ）。.同理可得到 平面相乘结果都 是旋转 。这样，我们做出了 点群的乘法表 点群的乘法表
GCC3GvGEavC点群共有六个元素，六个元素相乘所得结果还在这六个元素之中，满足封闭性，又有恒等元素E,CC元素互为逆元素，三个元素与自身为逆元素，还满足乘法结合律，符合群的条件。3.群的一些相关概念（1）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，点群，空间群，李群...本章介绍的是研究分子对称性的对称点群，本课程在介绍晶体结构时要介绍空间群，对称点群的特点是的对称元素交于一点。（2）群阶：群所含的对称元素个数称为群阶，如3群群阶为3，C3群群阶为6。(3）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭元素的可分为一类。如3点群中的元素可分为三类元素成一类，C}与 旋转成一类。三个°，平面而成一类。（4）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的群，称为子群。例如：C群中有子群3。子群也享足群的四个要求。s3.2对称点群(Pointgroups)一、分子点群的分类在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是对称的图象。利用对称性原理探讨分子的结构和性质人们认识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。分子对称性是联系分子结构和分子性质的重梁之一。在化学研究中，我们经常要确定一个分子、离子或原子簇所属的对称点群。如果分子M所具有的对称元素所有对称操作形成一个完全集合G，我们就说分子M的对称性属于点群G。由于群论原理制约，某个分子具对称元素和可能进行的对称操作是有限的，所以分子点群大致可分为几类：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高群。以下分类介绍：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高阶群分子点群Cn若分子只有n重旋转轴，它就属于C群，群元素为[E，Cn，Cn2..Cnn-1]。这是n阶循环群
点群共有六个元素，六个元素相乘所得结果还在这六个元素之中，满足封闭性，又有恒等元素 E， 与 元素互为逆元素，三个 元素与自身为逆元素，还满足乘法结合律，符合群的条件。 3．群的一些相关概念 （1）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，点群，空间群，李群. 本章介绍的是研究分子对称性的对称点群，本课程在介绍晶体结构时要介绍空间群，对称点群的特点是所有 的对称元素交于一点。 （2）群阶：群所含的对称元素个数称为群阶，如 群群阶为 3， 群群阶为 6。 （3）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭元素的可分为一类。如 点群中的元素可分为三类，E 元素成一类， 与 旋转成一类。三个 平面而成一类。 （4）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的群，称为子群。例如： 群中有子群 。子群也要满 足群的四个要求。 §3.2 对称点群(Point groups) 一、分子点群的分类 在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是对称的图象。利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是 人们认识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥 梁之一。 在化学研究中，我们经常要确定一个分子、离子或原子簇所属的对称点群。如果分子 M 所具有的对称元素的 所有对称操作形成一个完全集合 G，我们就说分子 M 的对称性属于点群 G。由于群论原理制约，某个分子具有的 对称元素和可能进行的对称操作是有限的，所以分子点群大致可分为几类：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高阶 群。 以下分类介绍：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高阶群 分子点群 Cn 若分子只有 n 重旋转轴，它就属于 Cn群，群元素为{E，Cn，Cn2. Cnn-1 }。这是 n 阶循环群
现以二氯丙二烯（图1）为例说明。该分子两个HIc/CI碎片分别位于两个相互垂直的平面C,轴穿过中心C原子，与两个平面形成45°夹角。C旋转180°，两个Cl.两个H和头、尾两个C各自交整个分子图形复原。我们说它属于C2点群，群元素(E, C2)。H202分子（图II）是C2群的又一个例子，H202象一本打开的书上，C2轴穿过O-0键的中心和两个HII.H,O,分子（动画）的中心。（鼠标移到图片上可显示动画，鼠标移出后停止)1,3,5-三甲基苯（图I）是C3点群的例子，若不考虑甲基上H原子，分子的对称性可以很高，但整体考虑，CcHs(CHs)只有Cs对称元素。G轴位于苯环中心，垂直于苯环平面，分子绕Cs轴转动120°，240°都能复原。旋转一定角度的三氯乙烷（图IV）也是C，对称性分子。1II.1,3,5-三甲基苯IV.CHCCls二、分子点群Cnv若分子有n重旋转轴和通过C,轴的对称面，就生成一个C.群。由于C轴的存在，有一个对称面，必然产(n-1）个对称面。两个平面交角为元/n。它也是2n阶群。水分子属C2v点群。Cz轴经过O原子、平分ZHOH，分子所在平面是一个α,平面，另一个a平面经过O原与分子平面相互垂直。（鼠标移到图片上可显示动画，鼠标移出后动画停止）图Il.ov平面图II.o平面（B)动画演示图1.C2轴动画演示(A)动画演示
现以二氯丙二烯（图 I）为例说明。 该分子两个 H \C/ Cl碎片分别位于两个相互垂直的平面上， C2轴穿过中心 C 原子，与两个平面形成 45°夹角。C2轴 旋转 180°，两个 Cl，两个 H 和头、尾两个 C 各自交换， 整个分子图形复原。我们说它属于 C2点群，群元素为 {E，C2}。 II. H2O2分子（动画） H2O2分子（图 II）是 C2群的又一个例子，H2O2象躺在 一本打开的书上，C2轴穿过 O-O 键的中心和两个 H 连线 的中心。（鼠标移到图片上可显示动画，鼠标移出后动画 停止） 1,3,5-三甲基苯（图 III）是 C3点群的例子，若不考虑甲基上 H 原子，分子的对称性可以很高，但整体考虑， C6H3(CH3)3只有 C3对称元素。C3轴位于苯环中心，垂直于苯环平面，分子绕 C3轴转动 120°，240°都能复原。 旋转一定角度的三氯乙烷（图 IV）也是 C3对称性分子。 III. 1,3,5-三甲基苯 IV. CH3CCl3 二、分子点群 Cnv 若分子有 n 重旋转轴和通过 Cn轴的对称面 σ，就生成一个 Cnv群。由于 Cn轴的存在，有一个对称面，必然产生 （n-1）个对称面。两个平面交角为 π/n。它也是 2n 阶群。 水分子属 C2v点群。C2轴经过 O 原子、平分∠HOH，分子所在平面是一个 σv平面，另一个 σv平面经过 O 原子且 与分子平面相互垂直。（鼠标移到图片上可显示动画，鼠标移出后动画停止） 图 I.C2 轴动画演示 图 II.σv 平面 (A)动画演示 图Ⅲ.σv平面(B)动画演示