第五章定积分 第四节反常积分 前面研究定积分要求，(1)积分区间有限：(2)被积函数有界。但实际问题往往不满足 以上要求，于是出现了反常积分。 一→、无3穷限的广义分 定义1设函数了（因在区同〔a,+o)上连续，取b>a,若极限巴f()d存在，则 称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+oo)上的反常积分，记作广f(x)dx 即fdk=mf(xd 此时也称反常积分广f(x)d红收敛：若上述极限不存在，则称反常积分厂f()发散。 类似可定义 ∫f(xdx=im∫fxdx fx)△典（闭x+期（动k 注意：f(闭≠职/（闭d 1*+血 ”欧a女 1 1 =典中血+织中 =知rcm+rcm省=-（←+=n 例2计算te'k(ae2) 解记1.=x产ed 则xedr=xde)=xe+nex 引品学0点=点 1n=lx1=n0m-101-2=.=(a-1).2.1
1 第 五 章 定 积 分 第四节 反常积分
4=x0d版=mxea=m-be-g+1刂=1 故1，=州 特证矿义积厂空当P>1时收堂当p≤1时发数 m出 a侣制信 p> 当P=1时 职片女=织血=加结轮得证。 说明：若f(x)的原函数为F(x),则 f=mJwh-【F-Fa1rR+m)-F@)=F✉0 当F(+o)存在时，f(x)d欧收敛.当F(+co)发数时，f(x)dr发数. 二、无界函数的广反常积分 定义2设函数f(x)在（红，b]上连续，而在点a的右邻域内无界，取t0,若极限 职，儿)d本存在奥称比松限为通数了)在(a,b]上的反常积分，仍记作： [f(x)dx 此时称反常积分广f(x)d收敛，若上述极限不存在，则麻反常积分发散。 类似可定义[a,b),[a,b]上的反常积分 f()dxf Ja)d4xd+闭d=mfxt+f闭ah 注意：
2
fr=fxdx+fx≠efxk+efd 4n家血(a8) -am 1 思m行1.号6字月 创5讨论子女的收绿性 解)=。在×=8处无界 上=2k+2 旷北 广=g日-=烟 宁在发题，从盾子血发数。 情证义以女当1时微说当9之1时发数 s加，0 [19<1 当g=1时 m人乐=血x=+o得证
3
1当k捐时，r文厂心？长消时k方相时，广文积 分取得最小值？ ag6=2到 =11-k1-k u=in x hmx)0l[mA)-hm2】k=1 a品借 指厂高s,r 当其收效时， 卫5高 (k>1) 自Frw血2泸hX-鱼2-06=1 (k-02 可证F“(化)>0（略）唯一的极小值点 当k=k,时，此广义积分取得最小值。 本章补充下列： 1.求打瞬分折：心（闭d女=职子G, 等粉取=片o号本=典名月
4
品 1 1 17 -点=20-2 n装只 解：原式=架血丽-h对=典血1+h2++h对-h网 ==0血1-h)+a2-h网+.+am-血j =典君+h后+.+h原=典2月 =血xd=袖动-xxk=-1 广义积分杨限 例3.若f)=2-xfd+2到求f() 解：定积分是-个确定的嫩记A=广f(xd红，B=∫f(xdx 则f(x)=X2-Ax+2B将其两边分别从0~2,0~1积分 4=ea=e2-+2s-号-2a+48
5