第二学期第十七次课 第九章元多项式环 §1一元多项式环的基本理论 911域上的一元多项式环的定义 定义91设K是一个数域,x是一个不定元。下面的形式表达式 f(x)=a0+ax+a2x2+…+anx”+ (其中a,a1a2…属于K,且仅有有限个不是0)称为数域K上的一个不定元x的一元多 项式。数域K上一个不定元x的多项式的全体记作K[x] 下面定义K[x内加法、乘法如下: 加法设 f(x)=a,+a,x+a,x g(x)=b+bx+b,x+ 则定义 ∫(x)+g(x)=(a+b)+(a1+b)x+(a2+b2)x2+ 为f(x)和g(x)的和。 乘法设 f(x)=a0+a1x+a2x2+…, )=b+b,x+b, Ck=ab+ab-1+a2b-2+…+ab(k=0,1,2) 义 f(x)g(x)=Co+C,x+C,x 为f(x)和g(x)的乘积。 容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则 1)加法有结合律 2)0(x)=0+0 称为零 项式 满足 f(x)+0(x)=f(x)(Vf(xEKLxD) 3)Vf(x)=a0+ax+a2x2+…都有逆元-f(x)=-a0+(-a1)x+(-a2)x2 使得f(x)+(-f(x))=0; 4)加法有交换律 5)乘法有结合律
第二学期第十七次课 第九章 一元多项式环 §1 一元多项式环的基本理论 9.1.1 域上的一元多项式环的定义 定义 9.1 设 K 是一个数域， x 是一个不定元。下面的形式表达式 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x = + + + + + （其中 0 1 2 a a a , , ,... 属于 K ，且仅有有限个不是 0）称为数域 K 上的一个不定元 x 的一元多 项式。数域 K 上一个不定元 x 的多项式的全体记作 K x[ ] 。 下面定义 K x[ ] 内加法、乘法如下： 加法 设 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) , ( ) , f x a a x a x g x b b x b x = + + + = + + + 则定义 2 0 0 1 1 2 2 f x g x a b a b x a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + + + + + 为 f x( ) 和 g x( ) 的和。 乘法 设 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) , ( ) , f x a a x a x g x b b x b x = + + + = + + + 令 0 1 1 2 2 0 ( 0,1,2,...) k k k k k c a b a b a b a b k = + + + + = − − 定义 2 0 1 2 f x g x c c x c x ( ) ( ) , = + + + 为 f x( ) 和 g x( ) 的乘积。 容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则： 1） 加法有结合律； 2） 2 0( ) 0 0 0 x x x = + + + 称 为 零 多 项 式 ， 满 足 f x x f x f x K x ( ) 0( ) ( ) ( ( ) [ ]) + = 3） 2 0 1 2 = + + + f x a a x a x ( ) 都有逆元 2 0 1 2 − = − + − + − + f x a a x a x ( ) ( ) ( ) 使得 f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = ； 4） 加法有交换律； 5） 乘法有结合律；
6)I(x)=1+0x+0x2+…称为(乘法的)幺元,使得V(x)∈K[x有 f(x)/(x)=f(x); 7)乘法有交换律 8)加法与乘法有分配律:f(x)(g(x)+(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) 定义92K[x]连同上面定义的加法与乘法,称为数域K上的一元多项式环 相应的系数,次数等概念在中学已教授 912整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义 定义93给定∫(x),g(x)∈K[x,f(x)≠0。若存在一q(x)∈K[x],使 g(x)=q(x)f(x),则称f(x)整除g(x),记作f(x)lg(x),f(x)称为g(x)的因式,g(x) 称为∫(x)的倍式。若f(x)不能整除g(x),则记作f(x)g(x) 定义9.4如果f(x),g(x)不全为零多项式,设d(x)∈K[x],d(x)≠0,若 d(x)|f(x),d(x)lg(x),则称d(x)为f(x),g(x)的一个公因式。如果d(x)还满足:(i) d(x)是首一多项式;(ⅱ)对f(x),g(x)的任意公因式d1(x),都有d1(x)d(x),则称d(x) 为f(x),g(x)的最大公因式,记作(f(x),g(x)。如果(f(x),g(x)=1,则称f(x),g(x) 互素 定义9.5 设p(x)是K[x内一多项式,degp(x)≥1,如果p(x)在K[x内的因 式仅有零次多项式及qp(x),这里a∈K,a≠0,则称p(x)是K[x]内的一个不可约多项式, 否则称其为可约多项式。 定义9.6对于K[x]内的一个多项式f(x),如果0≠d(x)∈K[x]满足: d(x)|f(x),d(x)4“f(x) 则称d(x)是∫(x)的k重因式。 913带余除法 设∫(x),g(x)∈K[x],f(x)≠0,则存在唯一的q(x),r(x)∈K[x],使 g(x)=q(xf(x)+r(x) 其中r(x)=0或degr(x)<degf(x)。我们称q(x)和r(x)分别称为用∫(x)去除g(x)所得 的商和余式 证明存在性设 f(x)=ax"+a1x+…+an(a≠0)
6） 2 I x x x ( ) 1 0 0 = + + + 称 为 （ 乘 法 的 ） 幺 元 ， 使 得 f x K x ( ) [ ] 有 f x I x f x ( ) ( ) ( ) = ； 7） 乘法有交换律； 8） 加法与乘法有分配律： f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). + = + 定义 9.2 K x[ ] 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 K 上的一元多项式环。 相应的系数，次数等概念在中学已教授。 9.1.2 整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义 定 义 9.3 给 定 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0 。若存在一 q x K x ( ) [ ] ， 使 g x q x f x ( ) ( ) ( ) = ，则称 f x( ) 整除 g x( ) ，记作 f x g x ( ) | ( ) ，f x( ) 称为 g x( ) 的因式，g x( ) 称为 f x( ) 的倍式。若 f x( ) 不能整除 g x( ) ，则记作 f x g x ( ) | ( ) 。 定义 9.4 如果 f x( ) ， g x( ) 不全为零多项式，设 d x K x d x ( ) [ ], ( ) 0 ，若 d x f x d x g x ( ) | ( ), ( ) | ( ) ，则称 d x( ) 为 f x( ) ， g x( ) 的一个公因式。如果 d x( ) 还满足：（i） d x( ) 是首一多项式；（ii）对 f x( ) ，g x( ) 的任意公因式 1 d x( ) ，都有 1 d x d x ( ) | ( ) ，则称 d x( ) 为 f x( ) ，g x( ) 的最大公因式，记作 ( ( ), ( )) f x g x 。如果 ( ( ), ( )) f x g x =1，则称 f x( ) ，g x( ) 互素。 定义 9.5 设 p x( ) 是 K x[ ] 内一多项式， deg ( ) 1 p x ，如果 p x( ) 在 K x[ ] 内的因 式仅有零次多项式及 ap x( ) ，这里 a K a , 0 ，则称 p x( ) 是 K x[ ] 内的一个不可约多项式， 否则称其为可约多项式。 定义 9.6 对于 K x[ ] 内的一个多项式 f x( ) ，如果 0 ( ) [ ] d x K x 满足： 1 ( ) | ( ), ( ) | ( ) k k d x f x d x f x + 则称 d x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式。 9.1.3 带余除法 设 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0 ，则存在唯一的 q x r x K x ( ), ( ) [ ] ，使 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或 deg ( ) deg ( ) r x f x 。我们称 q x( ) 和 r x( ) 分别称为用 f x( ) 去除 g x( ) 所得 的商和余式。 证明 存在性 设 1 0 1 0 ( ) ( 0). n n n f x a x a x a a − = + + +
如果n=0,则取q(x)=一g(x),r(x)=0即可。下面假定n>0。对g(x)的次数做数学归 纳法:如果g(x)=0或degg(x)<n,则令q(x)=0,r(x)=g(x)即满足要求 degg(x)<m,命题正确,则当degg(x)=m时,有 g(x)=bx"+bxm+…+bn(b≠0) (这里m≥n),令 81(x)=g(x) boxm-nf(x) 若g1(x)=0,则取q(x)=xm,r(x)=0。否则,因degg(x)<m,按归纳假设,存在 q1(x),(x)∈K[x],使得 (x)=q1(x)f(x)+r(x) 这里F(x)=0或degr(x)<deg∫(x)。现令 q(x)=xm-+q1(x),r(x)=(x) 则显然有g(x)=q(x)f(x)+r(x) 唯一性设张(x),r(x)也满足命题要求,那么 q(xf(x)+r(x)=g(xf(x)+r(r) L(x)-q(xlf(x=r(x)-r(x) 比较两边的次数,即可知r(x)-r(x)=0,q(x)-(x)=0。 914用辗转相除法求二多项式的最大公因子 给定f(x),g(x)∈K[x],f(x)≠0,做带余除法: 8(x)=q(x)f(x)+r(x) (r(x)=oo deg r(x)<deg f(x)) 不难得(f(x),g(x)=(f(x),r(x)。现在做辗转相除法如下 g(x)=q(x)f(x)+r(x)(若r(x)≠0) f(x)=q1(x)r(x)+r(x)(若r1(x)≠0) r(x)=q2(x)(x)+r2(x)(若r2(x)≠0) 因degf(x)>degr(x)>degn2(x)>…,故必有F(x)=0而rn(x)≠0,即 rn=1(x)=qn(x)n(x),于是(g(x),f(x)=(f(x),r(x))=(r(x),r1(x)=((x),2(x)=…
如果 n = 0 ，则取 0 1 q x g x r x ( ) ( ), ( ) 0 a = = 即可。下面假定 n 0 。对 g x( ) 的次数做数学归 纳法：如果 g x( ) =0 或 deg ( ) g x n ，则令 q x r x g x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即满足要求。设 deg ( ) g x m ，命题正确，则当 deg ( ) g x m= 时，有 ( ) 1 0 1 0 ( ) 0 m m m g x b x b x b b − = + + + （这里 m n ），令 0 1 0 ( ) ( ) ( ). b m n g x g x x f x a − = − 若 1 g x( ) 0 = ，则取 0 0 ( ) , ( ) 0 b m n q x x r x a − = = 。否则，因 1 deg ( ) g x m ，按归纳假设，存在 1 1 q x r x K x ( ), ( ) [ ] ，使得 1 1 1 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 这里 1 r x( ) 0 = 或 1 deg ( ) deg ( ) r x f x 。现令 0 1 1 0 ( ) ( ), ( ) ( ), b m n q x x q x r x r x a − = + = 则显然有 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 唯一性 设 q x r x ( ), ( ) 也满足命题要求，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ). q x f x r x q x f x r x q x q x f x r x r x + = + − = − 比较两边的次数，即可知 r x r x q x q x ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 − = − = 。 9.1.4 用辗转相除法求二多项式的最大公因子 给定 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0 ，做带余除法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0 deg ( ) deg ( )). g x q x f x r x r x r x f x = + = 或 不难得 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) f x g x f x r x = 。现在做辗转相除法如下： 1 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0), ( g x q x f x r x r x f x q x r x r x r x r x q x r x r x r x = + = + = + 若 若 若 因 1 2 deg ( ) deg ( ) deg ( ) f x r x r x ，故必有 1 ( ) 0 m r x + = 而 ( ) 0 m r x ， 即 1 ( ) ( ) ( ) m m m r x q x r x − = ，于是 1 1 2 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) g x f x f x r x r x r x r x r x = = = =
=(rm-(x),n(x)=arn(x)(使am(x)为首一多项式)。这就把(f(x)g(x)求出来了。 91.5一元多项式环的理想、主理想的定义 定义9.7设为K[x]的一个非空子集。如果下面条件满足: (i)若f(x),g(x)∈I,则∫(x)-g(x)∈l; (i)若f(x)∈l,则对任意g(x)∈K[x],有f(x)g(x)∈l 则称I为K[x]的一个理想 {0}和K[x]显然都是理想,称为平凡理想,其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理 想 定义9.8对任意f(x)∈K[x],定义 ((x))=u(x)f(x)lu(xeKIxli 则(f(x)成为由f(x)生成的主理想。 主理想的简单性质 1)(f(x)c(g(x)且g(x)≠0分g(x)|f(x) 2)(f(x)=(g(x)g(x)=f(x),其中c∈K,c≠0 命题域上的一元多项式环是主理想整环,即设/是K[x]的一个非零理想,则存在 K[x]内的首一多项式f(x),使I=(f(x)。 证明在/中选一个次数最低的多项式f(x),因对任意的a∈K,qf(x)∈I,故可设 f(x)为首一多项式。按理想的定义中的条件(i)即知(f(x)1。现设g(x)为/中任意 元素,按带余除法,有q(x)r(x)∈K[x],使得 8(x)=q(x)f(x)+r(x) 其中r(x)=0或degr(x)<degf(x),但r(x)=g(x)-f(x)q(x)仍属于,由f(x)的选 法可知必定有r(x)=0,于是g(x)=q(x)f(x),即g(x)∈(f(x),从而I∈(f(x),由 此I=(f(x)。 定义9.9理想的交与和的定义 1)h1∩l2仍为K[x]的理想,称为1与l2的交 2)令1+l2={(x)+g(x)|∫(x)∈l12g(x)∈I2},则1+l2也是K[x]的一个理想, 称为l1与l2的和 我们很容易验证,若m(x)是f(x)与g(x)的最小公倍式,则 (f(x)∩(g(x)=(m(x)。 命题域K上的一元多项式环K[x中二理想(f(x)与(g(x)的和等于由f(x)与 g(x)的最大公因子生成的理想
= 1 ( ( ), ( )) ( ) m m m r x r x ar x − = （使 ( ) m ar x 为首一多项式）。这就把 ( ( ), ( )) f x g x 求出来了。 9.1.5 一元多项式环的理想、主理想的定义 定义 9.7 设 I 为 K x[ ] 的一个非空子集。如果下面条件满足： （i） 若 f x g x I ( ), ( ) ，则 f x g x I ( ) ( ) − ； （ii） 若 f x I ( ) ，则对任意 g x K x ( ) [ ] ，有 f x g x I ( ) ( ) 。 则称 I 为 K x[ ] 的一个理想。 {0}和 K x[ ] 显然都是理想，称为平凡理想，其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理 想。 定义 9.8 对任意 f x K x ( ) [ ] ，定义 ( ( )) { ( ) ( ) | ( ) [ ]}, f x u x f x u x K x = 则 ( ( )) f x 成为由 f x( ) 生成的主理想。 主理想的简单性质： 1） ( ( )) ( ( )) ( ) 0 ( ) | ( ). f x g x g x g x f x 且 2） ( ( )) ( ( )) ( ) ( ), , 0. f x g x g x cf x c K c = = 其中 命题 域上的一元多项式环是主理想整环，即设 I 是 K x[ ] 的一个非零理想，则存在 K x[ ] 内的首一多项式 f x( ) ，使 I f x = ( ( )) 。 证明 在 I 中选一个次数最低的多项式 f x( ) ，因对任意的 a K af x I , ( ) ，故可设 f x( ) 为首一多项式。按理想的定义中的条件（ii）即知 ( f x I ( )) 。现设 g x( ) 为 I 中任意 元素，按带余除法，有 q x r x K x ( ), ( ) [ ] ，使得 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 r x r x f x ( ) 0 deg ( ) deg ( ) = 或 ，但 r x g x f x q x ( ) ( ) ( ) ( ) = − 仍属于 I ，由 f x( ) 的选 法可知必定有 r x( ) 0 = ，于是 g x q x f x ( ) ( ) ( ) = ，即 g x f x ( ) ( ( )) ，从而 I f x ( ( )) ，由 此 I f x = ( ( )) 。 定义 9.9 理想的交与和的定义 1) 1 2 I I 仍为 K x[ ] 的理想，称为 1 I 与 2 I 的交； 2）令 1 2 1 2 I I f x g x f x I g x I + = + { ( ) ( ) | ( ) , ( ) } ，则 1 2 I I + 也是 K x[ ] 的一个理想， 称为 1 I 与 2 I 的和。 我 们 很 容 易 验 证 ， 若 m x( ) 是 f x( ) 与 g x( ) 的 最 小 公 倍 式 ， 则 ( ( )) (( ( )) ( ( )) f x g x m x = 。 命题 域 K 上的一元多项式环 K[x] 中二理想 ( f (x)) 与 (g(x)) 的和等于由 f (x) 与 g(x) 的最大公因子生成的理想
证明不妨设∫(x),g(x)不全为零,则(f(x)+(g(x)≠(0),故可设 (x)+(g(x)=(d(x),d(x)为首一多项式。因(f(x)(d(x),故(d(x)|f(x),同 理d(x)|g(x),即d(x)为f(x),g(x)的一个公因式。若d4(x)为f(x),g(x)的任一公 因式,由d1(x)|∫(x)推知(f(x)∈(d(x)),同理(g(x)∈(d1(x),于是 (d(x)=(f(x))+(g(x)c(d1(x),而这表示d1(x)d(x),所以d(x)=(f(x),g(x) 这个命题的直接推论如下: 推论设f(x)与g(x)是域K上的一元多项式环K[x]中二多项式,f(x)与g(x)的最 大公因子为d(x),则存在u(x)、v(x)∈K[x],使得d(x)=l(x)f(x)+v(x)g(x)。 基于这个推论,我们可以得到两个重要的结论 结论1设f(x),g(x)是K[x]内两个不全为零的多项式,则下列命题等价: (i)f(x)与g(x)互素 (ii)存在l(x),v(x)∈K[x],使l(x)f(x)+v(x)g(x)=1 (i)(f(x)+(g(x))=K[x 结论2设∫(x),g(x),h(x)∈K[x],并且f(x)≠0,如果∫(x)lg(x)h(x)且 (f(x),g(x)=1,则f(x)|h(x) 91.6域上的一元多项式环是唯一分解整环 根据上面结论2,的下面的引理: 设p(x)为K[x]内不可约多项式,由设f(x).2(x)…,f(x)∈K[x]。若 p(x)∏f(x),则p(x)整除某个∫(x) 定理(因式分解为一定理)设K是一个数域,给定多项式 f(x)=ax"+a1xn+…+an(a1∈K,a0≠0), 则f(x)可以分解为 f(x)=a0P2(x)p2(x)…p,(x)+(k,>0,=12,…,r) 其中P1(x),…,P(x)是K[x]内首相系数为1且两两不同的不可约多项式。而且,除了不可 约多项式的排列次序外,上面的分解式是由f(x)唯一决定的 证明存在性对n做数学归纳法。当n=deg∫(x)=0时,命题显然成立 设命题对小于n的多项式成立。下面考察degf(x)=n时的情况。 i)如果∫(x)本身是不可约的,则p(x)=-f(x)仍为不可约多项式,而 f(x)=aP1(x),故命题成立
证 明 不 妨 设 f x( ) ， g x( ) 不全为零，则 ( f (x)) + (g(x)) (0) ，故可设 (f x g x d x ( )) ( ( )) ( ( )) + = ，d x( ) 为首一多项式。因 ( ( )) ( ( )) f x d x ，故 ( ( )) | ( ) d x f x ，同 理 d x g x ( ) | ( ) ，即 d x( ) 为 f x( ) ， g x( ) 的一个公因式。若 1 d x( ) 为 f x( ) ， g x( ) 的任一公 因式，由 1 d x f x ( ) | ( ) 推 知 1 ( ( )) ( ( )) f x d x ，同理 1 ( ( )) ( ( )) g x d x ，于是 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) d x f x g x d x = + ,而这表示 1 d x d x ( ) | ( ) ，所以 d x f x g x ( ) ( ( ), ( )) = 。 这个命题的直接推论如下： 推论 设 f (x) 与 g(x) 是域 K 上的一元多项式环 K[x] 中二多项式， f (x) 与 g(x) 的最 大公因子为 d (x) ，则存在 u(x) 、v(x) K[x] ，使得 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) 。 基于这个推论，我们可以得到两个重要的结论： 结论 1 设 f x( ) ， g x( ) 是 K[x] 内两个不全为零的多项式，则下列命题等价： （i） f (x) 与 g(x) 互素； （ii）存在 u x v x K x ( ), ( ) [ ] ，使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + = ； （iii） ( ( )) ( ( )) [ ] f x g x K x + = . 结 论 2 设 f x g x h x K x ( ), ( ), ( ) [ ], 并 且 f x( ) 0 ，如果 f x g x h x ( ) | ( ) ( ) 且 ( ( ), ( )) 1 f x g x = ，则 f x h x ( ) | ( ) 。 9.1.6 域上的一元多项式环是唯一分解整环 根据上面结论 2，的下面的引理： 设 p x( ) 为 K[x] 内 不 可 约 多 项 式 ， 由 设 1 2 ( ), ( ),..., ( ) [ ] k f x f x f x K x 。 若 1 ( ) | ( ) k i i p x f x = ，则 p x( ) 整除某个 ( ) j f x 。 定理（因式分解为一定理）设 K 是一个数域，给定多项式 1 0 1 0 ( ) ( , 0), n n n i f x a x a x a a K a − = + + + 则 f x( ) 可以分解为 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, 1,2,..., ), r k k k r i f x a p x p x p x k i r = = 其中 1 ( ), , ( ) r p x p x 是 K[x] 内首相系数为 1 且两两不同的不可约多项式。而且，除了不可 约多项式的排列次序外，上面的分解式是由 f x( ) 唯一决定的。 证明 存在性 对 n 做数学归纳法。当 n f x = = deg ( ) 0 时，命题显然成立。 设命题对小于 n 的多项式成立。下面考察 deg ( ) f x n = 时的情况。 i) 如 果 f x( ) 本身是不可约的，则 1 0 1 p x f x ( ) ( ) a = 仍 为不可约多项式，而 0 1 f x a p x ( ) ( ) = ，故命题成立