它们把整个空间点阵的阵点穿连无余：空间点阵的任一阵点，都有无限多条晶列穿过它。 图2.7中就一个晶胞给出几族常见的品列。品列的表示方法是用方括号括三个对应品胞 a、b、c方向的互质整数即[UVW]。求U,V,W的方法有两种：其一是在一晶列上任选 两阵点[m1m2m3]和[12n3],然后对(m1-),(m2-n2),(m3-n3)进行 互质约化，即(m,-n,):(m2-):(m,-n）=U:V:W:另一种方法是，取晶列族 中通过原点的那条直线上距原点最近阵点的指数[u,u2,u,]对其进行约化。如果阵点 坐标有负值则在相应指数上面加“”。图2.7中示例给出了几族晶列的指数。把由对称操 作联系在一起的等效晶列，如立方晶系的100]，[010]，[001]，100]，[010]，[001]等用 尖括号括入的100即100)表示，称为“广义晶列指数”，它表征一个晶向单形。对于六方晶 系其晶列指数有两种表示方法：三指数法和四指数法。四指数的出现是由于考虑到六方晶 系的对称性而在六方晶胞中引入d=-(a+b)作为第三基矢所致。若某晶列的三指数表 示为[UVW],四指数表示为[utw],则二者间的关系为： U:V:W=(u-t):(v-t):w u::t:w=2U-V):2V-U):(-U-V):3W 2.1.5) 图2.8表出了六方晶系的晶列方向及其指数。 病 转成制 原园 → 图2.7晶列及其指数 图2.8六方晶系的晶列及其指数 2.晶面及其表示方法 在空间点阵中，通过任意三阵点的平面，称为点阵平面或晶面。同样由于空间点阵的 周期性和无限性，它也有无限多个与其平行的平面构成晶面族，一族晶面可把整个点阵的 阵点分尽。同族晶面的取向一致面间距相同。表示晶面用密勒(Mler)指数，它是用晶面 在晶胞三个轴矢方向的截距（以晶胞相应基矢为单位）取倒数再行约化为互质整数求得 的。通常以(hk)表示。当晶面平行于某晶轴时，其相应的密勒指数就为0：当晶面通过原 点时，可以平移，求出截距后进行约化，求出指数。遇有负向截距时，则在相应指数上面加 “-”。图29标出几个晶面族)及其指数。同样，晶面也有由对称操作联系一起的等效晶 面族，以hk)表示，称为广义晶面。六方品系密勒指数三指数和四指数的关系：Gk)→ ·30·
它们把整个空间点阵的阵点穿连无余；空间点阵的任一阵点，都有无限多条晶列穿过它。 图２７中就一个晶胞给出几族常见的晶列。晶列的表示方法是用方括号括三个对应晶胞 ａ、ｂ、ｃ方向的互质整数即［ＵＶ Ｗ］。求 Ｕ，Ｖ，Ｗ 的方法有两种：其一是在一晶列上任选 两阵点［［ｍ１，ｍ２，ｍ３］］和［［ｎ１，ｎ２，ｎ３］］，然后对（ｍ１－ｎ１），（ｍ２－ｎ２），（ｍ３－ｎ３）进行 互质约化，即（ｍ１ －ｎ１）：（ｍ２－ｎ２）：（ｍ３－ｎ３）＝Ｕ∶Ｖ∶Ｗ；另一种方法是，取晶列族 中通过原点的那条直线上距原点最近阵点的指数［［ｕ１，ｕ２，ｕ３］］对其进行约化。如果阵点 坐标有负值则在相应指数上面加“－”。图２７中示例给出了几族晶列的指数。把由对称操 作联系在一起的等效晶列，如立方晶系的［１００］，［０１０］，［００１］，［１００］，［０１０］，［００１］等用 尖括号括入的１００即〈１００〉表示，称为“广义晶列指数”，它表征一个晶向单形。对于六方晶 系其晶列指数有两种表示方法：三指数法和四指数法。四指数的出现是由于考虑到六方晶 系的对称性而在六方晶胞中引入ｄ＝－（ａ＋ｂ）作为第三基矢所致。若某晶列的三指数表 示为［ＵＶ Ｗ］，四指数表示为［ｕｖｔｗ］，则二者间的关系为： Ｕ∶Ｖ∶Ｗ ＝（ｕ－ｔ）∶（ｖ－ｔ）∶ｗ ｕ∶ｖ∶ｔ∶ｗ ＝（２Ｕ －Ｖ）∶（２Ｖ －Ｕ）∶（－Ｕ －Ｖ）∶３Ｗ｝ （２１５） 图２８表出了六方晶系的晶列方向及其指数。 员 圆员 园 眼员园园演 员 圆员员 眼员园园演 眼员圆圆演 眼员圆园演 眼员圆园演 员原员园 圆 园园园 眼圆员园演 眼员员园演 葬 遭 眼园园员演 糟 图２７ 晶列及其指数 眼园园员演 眼园园园员演 眼员圆员园演 眼园员园演 眼员员圆园演 眼员员园演 眼圆员员园演 眼员园园演 眼员员员演 眼员员圆猿演 眼员圆员猿演 眼园员员演 糟 葬圆 眼员园员园演 眼圆员园演 葬员 图２８ 六方晶系的晶列及其指数 ２．晶面及其表示方法 在空间点阵中，通过任意三阵点的平面，称为点阵平面或晶面。同样由于空间点阵的 周期性和无限性，它也有无限多个与其平行的平面构成晶面族，一族晶面可把整个点阵的 阵点分尽。同族晶面的取向一致面间距相同。表示晶面用密勒（Ｍｉｌｌｅｒ）指数，它是用晶面 在晶胞三个轴矢方向的截距（以晶胞相应基矢为单位）取倒数再行约化为互质整数求得 的。通常以（ｈｋｌ）表示。当晶面平行于某晶轴时，其相应的密勒指数就为０；当晶面通过原 点时，可以平移，求出截距后进行约化，求出指数。遇有负向截距时，则在相应指数上面加 “－”。图２９标出几个晶面（族）及其指数。同样，晶面也有由对称操作联系一起的等效晶 面族，以｛ｈｋｌ｝表示，称为广义晶面。六方晶系密勒指数三指数和四指数的关系：（ｈｋｌ）→ · ０３ ·
Ghki),其中i=-(h+k),这由第三基矢d的引入，不难求出。又因为这几乎是共知的， 所以四指数表示有时也书为(hk·)。图2.10给出了六方晶系的晶面及其指数。 图2.9晶面及其指数 图2.10六方晶系的晶面及其指数 2.1.5倒易点阵 倒易点阵是相对品体点阵而言的，其实二者是互为倒易的，只是因为习惯和历史的原 因才称后者为正点阵。若晶胞基矢为a,b,c,则由其定义的基矢a',b°，c a'=bxc b=cxa 2.1.6) 构成的“晶胞”及由其在α·，b,c·三个方向周期平移所构成的点阵，就分别称为倒易晶 胞和倒易点阵（以后简称为倒晶胞和倒点阵）。式2.1.6)中的Ω为正晶胞的体积，其大小 n=a·[b×c]=b·[e×a]=e·[a×b] 2.1.7) 给出。由此可得正倒晶胞基矢间的关系为： ·31·
（ｈｋｉｌ），其中ｉ＝－（ｈ＋ｋ），这由第三基矢ｄ的引入，不难求出。又因为这几乎是共知的， 所以四指数表示有时也书为（ｈｋ·ｌ）。图２１０给出了六方晶系的晶面及其指数。 穴员员园雪 穴员员园雪 糟遭 葬 遭 穴圆园园雪穴圆园园雪穴圆园园雪 穴员园园雪 穴员园园雪 遭 糟 葬 糟 葬 葬 遭 穴 糟 员员员雪 遭 葬 糟 穴员员园雪 穴员园园雪 穴员园园雪 穴员员员雪 图２９ 晶面及其指数 穴园园员雪 穴园园园员雪 穴员园园雪 穴员园员园雪 穴员圆员园雪 穴员圆园雪 穴员园员雪 穴员园员员雪 葬圆 葬员 穴员员园园雪 穴员员园雪 糟 图２１０ 六方晶系的晶面及其指数 ２１５ 倒易点阵 倒易点阵是相对晶体点阵而言的，其实二者是互为倒易的，只是因为习惯和历史的原 因才称后者为正点阵。若晶胞基矢为ａ，ｂ，ｃ，则由其定义的基矢ａ，ｂ，ｃ ａ ＝ｂ×ｃ Ω ｂ ＝ｃ×ａ Ω ｃ ＝ａ×ｂ 烍 烌 Ω 烎 （２１６） 构成的“晶胞”及由其在ａ，ｂ，ｃ 三个方向周期平移所构成的点阵，就分别称为倒易晶 胞和倒易点阵（以后简称为倒晶胞和倒点阵）。式（２１６）中的Ω为正晶胞的体积，其大小 由 Ω＝ａ·［ｂ×ｃ］＝ｂ·［ｃ×ａ］＝ｃ·［ａ×ｂ］ （２１７） 给出。由此可得正倒晶胞基矢间的关系为： · １３ ·
a·a=b°·b=c·c=1 a'·b=a·c=b°·a=b·c 2.1.8) =c‘·a=c·b=0 倒点阵在讨论晶体衍射理论时是一个非常重要的概念。这里把正倒点阵几个主要量间的 关系简述如下： 1.倒点阵的矢量R·=ha·+kb·+c·垂直于正点阵的晶面hk) 图2.11中晶面hk)分别于ah,b/k,cll处与a,b,c相交，因此，矢量CA,C第便决 定了晶面hk)。现R·与CA,C第的标积为： RC=a+b+e)号-)=0 R·Ci=a+h+1e)尝-9)=0 2.1.9) 所以倒矢量R·垂直于晶面hk)。 图2.11 2.倒矢量R'=ha'+kb·+lc·的长度等于晶面hk)间距d的倒数 前己证明R·垂直于晶面(k),所以晶面hk)的单位法线矢量n=R·R·。图 2.1表明晶面族hk)最靠近原点0的面截a轴于OA(号).因此，k)的面间距dw 为： d-只·0德气“尽 2.1.10) 3.正晶胞体积0和倒晶胞体积n°=a‘·[b°×c]互为倒数。 由 n=a·[b×c] 所以 n=b×c]exa]×axb》=b×c]a=合2.lD 其中利用了关系式A×(B×C)=A·C)B-A·B)C。 利用上述性质，可以很容易地求出两晶面间的夹角，两晶面所隶属的晶带的带轴和某 晶面是否属于某带轴所标志的晶带等，特别是埃瓦尔德(Ewal)利用倒点阵引入反射球 (也称Ewald球)，形象鲜明地阐明了X射线衍射的方向，成功地诠释了X射线的衍射花 ·32·
ａ·ａ ＝ｂ·ｂ＝ｃ·ｃ＝１ ａ·ｂ＝ａ·ｃ＝ｂ·ａ ＝ｂ·ｃ ＝ｃ·ａ ＝ｃ·ｂ＝ 烍 烌 ０ 烎 （２１８） 倒点阵在讨论晶体衍射理论时是一个非常重要的概念。这里把正倒点阵几个主要量间的 关系简述如下： １．倒点阵的矢量Ｒ ＝ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ 垂直于正点阵的晶面（ｈｋｌ） 图２１１中晶面（ｈｋｌ）分别于ａ?ｈ，ｂ?ｋ，ｃ?ｌ处与ａ，ｂ，ｃ相交，因此，矢量 →ＣＡ，→ＣＢ便决 定了晶面（ｈｋｌ）。现Ｒ 与 →ＣＡ，→ＣＢ 的标积为： Ｒ· →ＣＡ ＝（ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ）·（ａ ｈ －ｃ ｌ）＝０ Ｒ· →ＣＢ ＝（ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ）·（ｂ ｋ －ｃ ｌ）＝ 烍 烌 ０ 烎 （２１９） 所以倒矢量Ｒ 垂直于晶面（ｈｋｌ）。 韵 悦 砸 葬 糟 葬辕澡 糟 造 遭 月 粤 遭辕噪 图２１１ ２．倒矢量Ｒ ＝ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ 的长度等于晶面（ｈｋｌ）间距ｄｈｋｌ 的倒数 前已证明Ｒ 垂直于晶面（ｈｋｌ），所以晶面（ｈｋｌ）的单位法线矢量ｎ ＝ Ｒ／Ｒ。图 ２１１表明晶面族（ｈｋｌ）最靠近原点 Ｏ 的面截ａ轴于ＯＡ（ａ ｈ）。因此，（ｈｋｌ）的面间距ｄｈｋｌ 为： ｄｈｋｌ ＝ ａ ｈ· ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ ｜ｈａ ＋ｋｂ ＋ｌｃ ｜＝ １ ｜Ｒ ｜ （２１１０） ３．正晶胞体积Ω和倒晶胞体积Ω ＝ａ·［ｂ ×ｃ］互为倒数。 由 Ω＝ａ·［ｂ×ｃ］ 所以 Ω ＝ １ Ω３ ［ｂ×ｃ］·｛［ｃ×ａ］×［ａ×ｂ］｝＝ １ Ω２ ［ｂ×ｃ］·ａ ＝ １ Ω （２１１１） 其中利用了关系式Ａ×（Ｂ×Ｃ）＝（Ａ·Ｃ）Ｂ－（Ａ·Ｂ）Ｃ。 利用上述性质，可以很容易地求出两晶面间的夹角，两晶面所隶属的晶带的带轴和某 晶面是否属于某带轴所标志的晶带等，特别是埃瓦尔德（Ｅｗａｌｄ）利用倒点阵引入反射球 （也称Ｅｗａｌｄ球），形象鲜明地阐明了Ｘ射线衍射的方向，成功地诠释了 Ｘ射线的衍射花 · ２３ ·
样。对这些方面，读者在本书的后续内容中会逐渐清楚的。 2.1.6空间群、晶体结构举例 1.空间群及其表示方法 DOrthorhombie mm2 Cmm2 No.35 Cmm2 ○⊙垣 (○⊙垣 垣O○垣 域O⊙垣 ⊙○垣 ○⊙垣 O⊙垣 ⊙○垣 ⊙○垣 Origin on mm2 Number of positions, Co-ordinates of equivalent positions Conditions limiting Wyckoff notation. possible reflections and point Symmetry 0.00:之分0+ General: ④8f1 hkl:h+k 2n Okl:(k 2n) h0l:(h =2n) hk0:(h+k=2n) h00:h=2n) 0k0:k=2n) No conditions Special:as above,plus 4 e m 0.y.z:oy,z. No extra conditions 4dmx,0,:x,0,x 4c2子子 hkl:h=2n:=2n） 2 b mm 072 No extra conditions 2 a mm 0,0,x. symmetry of special projections ⑤001)emm:a=a,b=b100pml:b=之，c=c.010plm:c'=c,a=号 图2.12正交晶系Cmm2(C)群的资料略图 前已述及，把晶体的宏观对称操作和微观对称操作相组合，产生230个空间群，其中 包含丰富的晶体结构信息。晶体学国际协会从1952年起，连续编辑出版了“晶体学国际 表”(International Table for Crystallography)其中的A卷（第1卷）逐个汇集了230个空间 群的全部资料。原先的版本比较简单，1983年版资料很多，除了群的序号、符号、乌科夫符 ·330
样。对这些方面，读者在本书的后续内容中会逐渐清楚的。 ２１６ 空间群、晶体结构举例 １．空间群及其表示方法 ①Ｏｒｔｈｏｒｈｏｍｂｉｃ ｍｍ２ Ｃｍｍ２ Ｎｏ．３５ Ｃｍｍ２ Ｃ１１ ２ｖ 垣 垣 垣 垣 垣 垣 ② 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 垣 ③ Ｏｒｉｇｉｎｏｎｍｍ２ Ｎｕｍｂｅｒｏｆｐｏｓｉｔｉｏｎｓ， Ｗｙｃｋｏｆｆｎｏｔａｔｉｏｎ， ａｎｄｐｏｉｎｔＳｙｍｍｅｔｒｙ Ｃｏ－ｏｒｄｉｎａｔｅｓｏｆｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｓ （０，０，０；１ ２，１ ２，０）＋ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｌｉｍｉｔｉｎｇ ｐｏｓｓｉｂｌｅｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ Ｇｅｎｅｒａｌ： ④ ８ ｆ １ ｘ，ｙ，ｚ；ｘ，ｙ，ｚ；ｘ，ｙ，ｚ；ｘ，ｙ，ｚ ｈｋｌ：ｈ＋ｋ＝２ｎ ０ｋｌ：（ｋ＝２ｎ） ｈ０ｌ：（ｈ＝２ｎ） ｈｋ０：（ｈ＋ｋ＝２ｎ） ｈ００：（ｈ＝２ｎ） ０ｋ０：（ｋ＝２ｎ） ００ｌ：Ｎｏｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ Ｓｐｅｃｉａｌ：ａｓａｂｏｖｅ，ｐｌｕｓ ４ ｅ ｍ ０，ｙ，ｚ；ｏ，ｙ，ｚ． ４ ｄ ｍ ｘ，０，ｚ；ｘ，０，ｚ． ｝Ｎｏｅｘｔｒａｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ４ ｃ ２ １ ４，１ ４，ｚ；１ ４，３ ４，ｚ． ｈｋｌ：ｈ＝２ｎ；（ｋ＝２ｎ） ２ ｂ ｍｍ ０，１ ２，ｚ． ２ ａ ｍｍ ０，０，ｚ 烍 烌 ． 烎 Ｎｏｅｘｔｒａｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｓｐｅｃｉａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ⑤（００１）ｃｍｍ；ａ′＝ａ，ｂ′＝ｂ （１００）ｐｍ１；ｂ′＝ ｂ ２，ｃ′＝ｃ． （０１０）ｐ１ｍ；ｃ′＝ｃ，ａ′＝ ａ ２ 图２１２ 正交晶系Ｃｍｍ２（Ｃ１１ ２ｖ）群的资料略图 前已述及，把晶体的宏观对称操作和微观对称操作相组合，产生２３０个空间群，其中 包含丰富的晶体结构信息。晶体学国际协会从１９５２年起，连续编辑出版了“晶体学国际 表”（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＴａｂｌｅｆｏｒＣｒｙｓｔａｌｌｏｇｒａｐｈｙ）其中的Ａ 卷（第１卷）逐个汇集了２３０个空间 群的全部资料。原先的版本比较简单，１９８３年版资料很多，除了群的序号、符号、乌科夫符 · ３３ ·
号及反射条件等外，尚列有一个群的母操作、品胞的非对称单位、子群、超群等，群的图示 也由原来沿C方向的投影，改为几个方向的投影。继1983年A卷后，又接着出版了C卷 1992)、B卷1993)、F卷(2001)、E卷2002)以及D卷(2003)，限于篇幅和本书以后的需 要，这里仅以1952版35号群为例作简单的说明。 图2.12中编号①的部分是该空间群所属晶系（正交）、点群、简短的国际符号（此处 同完全的)、空间群序号、空间群的完全的国际符号和Schoenflies符号：编号②处是空间 群的图示包括：左边等效点系的分布图和右边对称元素沿C轴的正投影：编号③指明原 点位置的对称性：编号④标注晶胞中一般点和特殊点的位置的对称性、自左至右分别是 各位置的等效点数、Wyckoff符号、位置的对称性、等效点的坐标及反射条件：编号⑤给出 特定投影的对称性，即平面群。下面再做几点较详细的说明： (1)空间群符号的意义.230个群都有两个标记符号，即国际(Hermann-Mauguin)符 号和熊夫利斯(Schoenflies)符号。国际符号可使人们很快找出全部对称操作，绘出空间群 的图示。国际符号又分全写和略写（图2.12的全写与略写相同），全写的第一个大写字母 是布喇菲晶胞的符号如P、【、A、F·,接着是各晶系在其特征方向（见表2.2）的对称元素， 例如P1121,P12,1,P表示简单晶胞，1,1表示无对称性，21对群P1121表示在[001]方向有 螺旋轴21，对群P12,1表示在[010]方向有螺旋轴21，这是由单斜晶系两种不同的选取坐 标轴方法所造成的差异，二者的简略符号均为P2,但熊夫利斯符号却均为C号，不为坐标 的不同取法而变。在文献中常常遇到同种晶体结构其国际符号不同，这时只要观察其熊夫 利斯符号即可判定了.又如空间群P42/mnm,完全符号是P4,/m2,/m2/m,熊夫利斯 符号是D:。这是四方晶系的简单晶胞，它在[001]方向有螺旋轴4，和垂直于该轴的反映 面m,在[100]方向有螺旋轴21和垂直于它的滑移面n,在110]方向有旋转轴2和与它 垂直的反映面m。属于这个空间群的有TiO2,MgF2,MnF2,FeF2,ZnF2以及VO2MnO2 SnO,P%O2等 ②)乌科夫(Wyckoff)符号的意义。有关Wyckoff位置的资料是空间群中非常有用的 资料，乌科夫符号是晶胞中一些特定位置的符号，它按位置的对称性从高到低用字母α， b,c,d…表示，在a,b,c…左侧是相应符号所代表的等效点系的点数，其右侧是在晶胞 相应位置处点的对称性。在涉及具体晶体时，它的原子并不一定占据全部的乌科夫符号所 示位置，但是如果在某位置上有某种原子，则由这一个乌科夫符号所代表的全部位置上都 必须填有同种原子。例如，如果在图2.12的c位置上有一个氧原子，则一定有4个氧原子 分布在c所代表的4个位置上。如果坐标位置有可调参量如之，4c位置可有品种不同的4 个原子分别占据不同的：（伽子子21子子…）处.这在以后做全谱拟合时，是必须 注意的地方。 2.晶体结构举例 现把材料研制中常见的几种晶体结构举例说明如下[3,19]： (q)体心立方结构6c心)。体心立方结构属立方晶系，图2.13a)表示了其构形，在晶 胞基矢a,b,c为单位的坐标系中，晶胞中两个原子（占2a位置）的坐标分别为[0,0,0]和 ·34
号及反射条件等外，尚列有一个群的母操作、晶胞的非对称单位、子群、超群等，群的图示 也由原来沿Ｃ方向的投影，改为几个方向的投影。继１９８３年 Ａ卷后，又接着出版了Ｃ卷 （１９９２）、Ｂ卷（１９９３）、Ｆ卷（２００１）、Ｅ卷（２００２）以及Ｄ卷（２００３）。限于篇幅和本书以后的需 要，这里仅以１９５２版３５号群为例作简单的说明。 图２１２中编号 ① 的部分是该空间群所属晶系（正交）、点群、简短的国际符号（此处 同完全的）、空间群序号、空间群的完全的国际符号和Ｓｃｈｏｅｎｆｌｉｅｓ符号；编号 ② 处是空间 群的图示包括：左边等效点系的分布图和右边对称元素沿Ｃ轴的正投影；编号 ③ 指明原 点位置的对称性；编号 ④ 标注晶胞中一般点和特殊点的位置的对称性、自左至右分别是 各位置的等效点数、Ｗｙｃｋｏｆｆ符号、位置的对称性、等效点的坐标及反射条件；编号 ⑤ 给出 特定投影的对称性，即平面群。下面再做几点较详细的说明： （１）空间群符号的意义。２３０个群都有两个标记符号，即国际（Ｈｅｒｍａｎｎ－Ｍａｕｇｕｉｎ）符 号和熊夫利斯（Ｓｃｈｏｅｎｆｌｉｅｓ）符号。国际符号可使人们很快找出全部对称操作，绘出空间群 的图示。国际符号又分全写和略写（图２１２的全写与略写相同），全写的第一个大写字母 是布喇菲晶胞的符号如Ｐ、Ｉ、Ａ、Ｆ…，接着是各晶系在其特征方向（见表２２）的对称元素， 例如Ｐ１１２１，Ｐ１２１１，Ｐ表示简单晶胞，１，１表示无对称性，２１对群Ｐ１１２１表示在［００１］方向有 螺旋轴２１，对群Ｐ１２１１表示在［０１０］方向有螺旋轴２１，这是由单斜晶系两种不同的选取坐 标轴方法所造成的差异，二者的简略符号均为Ｐ２１，但熊夫利斯符号却均为Ｃ２ ２，不为坐标 的不同取法而变。在文献中常常遇到同种晶体结构其国际符号不同，这时只要观察其熊夫 利斯符号即可判定了。又如空间群Ｐ４２／ｍｎｍ，完全符号是Ｐ４２／ｍ ２１／ｎ２／ｍ，熊夫利斯 符号是Ｄ１４ ４ｈ。这是四方晶系的简单晶胞，它在［００１］方向有螺旋轴４２ 和垂直于该轴的反映 面 ｍ，在［１００］方向有螺旋轴２１ 和垂直于它的滑移面ｎ，在［１１０］方向有旋转轴２和与它 垂直的反映面 ｍ。属于这个空间群的有ＴｉＯ２，ＭｇＦ２，ＭｎＦ２，ＦｅＦ２，ＺｎＦ２ 以及 ＶＯ２、ＭｎＯ２， ＳｎＯ２，ＰｂＯ２ 等。 （２）乌科夫（Ｗｙｃｋｏｆｆ）符号的意义。有关 Ｗｙｃｋｏｆｆ位置的资料是空间群中非常有用的 资料，乌科夫符号是晶胞中一些特定位置的符号，它按位置的对称性从高到低用字母ａ， ｂ，ｃ，ｄ… 表示，在ａ，ｂ，ｃ… 左侧是相应符号所代表的等效点系的点数，其右侧是在晶胞 相应位置处点的对称性。在涉及具体晶体时，它的原子并不一定占据全部的乌科夫符号所 示位置，但是如果在某位置上有某种原子，则由这一个乌科夫符号所代表的全部位置上都 必须填有同种原子。例如，如果在图２１２的ｃ位置上有一个氧原子，则一定有４个氧原子 分布在ｃ所代表的４个位置上。如果坐标位置有可调参量如ｚ，４ｃ位置可有品种不同的４ 个原子分别占据不同的ｚ（如１ ４，１ ４，ｚ１，１ ４，１ ４，ｚ２…）处。这在以后做全谱拟合时，是必须 注意的地方。 ２．晶体结构举例 现把材料研制中常见的几种晶体结构举例说明如下［３，１９］： （１）体心立方结构（ｂｃｃ）。体心立方结构属立方晶系，图２１３（ａ）表示了其构形，在晶 胞基矢ａ，ｂ，ｃ为单位的坐标系中，晶胞中两个原子（占２ａ位置）的坐标分别为［０，０，０］和 · ４３ ·