2、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点 上流体质点的速度矢量v=t+y+w,通过该点流 线上的微元线段d=dxi+dw+dzk。由流线的定义知, 空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析,这 两个矢量的矢量积应等于零,即 ×dL=uyw|=0 ldy-vdx=o vdz-wdy=0 wdx-udz=0 上式又可写成 2021/220 26
2021/2/20 26 2、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点 上流体质点的速度矢量 ，通过该点流 线上的微元线段 。由流线的定义知， 空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这 两个矢量的矢量积应等于零，即 即 上式又可写成 V ui vj wk = + + L xi yj zk d = d +d +d 0 d d d i j k d = = x y z V L u v w d d 0 d d 0 d d 0 − = − = − = w x u z v z w y u y v x
dx (3-15) u(x, y,z, t) v(x,y,z, t) w(x,y,z, t) 式(3-15)就是流线的微分方程,式中时间t是个参变量 【例3-3】有一流场,其流速分布规律为:U=-ky, y VE kx,W=0,试求其流线方程 【解】由于W=0,所以是二维流动,二维流动的流线 方程微分为 dx d 将两个分速度代入流线微分方程(3-15),得到 ax d XdX+ydy=0 积分上式得到x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。 2021/220
2021/2/20 27 （3-15） 式（3-15）就是流线的微分方程，式中时间t是个参变量。 【例3-3】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线 方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程（3-15），得到 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x 2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。 ( , , , ) d ( , , , ) d ( , , , ) d w x y z t z v x y z t y u x y z t x = = v y u dx d = x y y x k d k d = −
流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线,通过曲线上 各点作流线,这些流线组成一个管状表面,称之为流管 如图3-4所示。因为流管是由流线构成的,所以它具有流 线的一切特性,流体质点不能穿过流管流入或流出(由于 流线不能相交)。流管就像固体管子一样,将流体限制在 管内流动。 过流管横截面上各点作流线,则得到充满流管的一束 流线簇,称为流束。当流束的横截面积趋近于零时,则流 束达到它的极限—流线 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流 线相互平行时,有效截面是平面。流线不平行时,有效截 面是曲面,如图3-5所示。有效截面面积为无限小的流束 20212/20 28
2021/2/20 28 三、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上 各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。 如图3-4所示。因为流管是由流线构成的，所以它具有流 线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于 流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在 管内流动。 过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束 流线簇，称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流 束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流 线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截 面是曲面，如图3-5所示。有效截面面积为无限小的流束
和流管,称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的 有效截面上,各点的速度可认为是相同的 无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇 到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况,可以把 总流流动分为三类: (1)有压流动总流的全部边界受固体边界的约束,即 流体充满流道,如压力水管中的流动 (2)无压流动总流边界的一部分受固体边界约束,另 部分与气体接触,形成自由液面,如明渠中的流动。 (3)射流总流的全部边界均无固体边界约束,如喷嘴 出口的流动 在总流的有效截面上,流体与固体边界接触的长度称 为湿周,用符号X表示 2021/220 29
2021/2/20 29 和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的 有效截面上，各点的速度可认为是相同的。 无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇 到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把 总流流动分为三类： （1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即 流体充满流道，如压力水管中的流动。 （2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。 （3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴 出口的流动。 在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称 为湿周，用符号χ表示
流线 图3-4流管和流東 2021/220
2021/2/20 30 图 3-4 流管和流束