第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础 主要内容包括:基础概率,概率的数学性质,概率分布、期望值与变异数 推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断,这是以概率论为基础 第一节基础概率 概率论起源于17世纪,当时在人口统计、人寿保险等工作中,要整理和硏 究大量的随机数据资料,这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学 参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为9和点数之和为10 哪种情况出现的可能性较大? 例如17世纪中叶,贵族德·梅尔发现:将一枚骰子连掷四次,出现一个6 点的机会比较多,而同时将两枚掷24次,出现一次双6的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623-1662)和费尔马(1601-1665),他们 在以通信的方式讨论赌博的机率问题时,发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗 (1667-1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(16541705提出了二 项分布理论。1814年,法国的拉普拉斯(1749—1827发表了《概率分析论》,该 书奠定了古典概率理论的基础,并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后, 法国的泊松(1781一1840)提出了泊松分布,德国的高斯(1777-1855提出了最小 平方法。 随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随杋现象,是指事先不能精确预 言其结果的现象,如即将出生的婴儿是男还是女?一枚硬币落地后其正面是朝上 还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点,那就是在给定的条件下, 观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性,但内中也有一定的规律性 例如,事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别,但大量观察,我们会发 现妇女生男生女的可能性几乎一样大,都是05,这就是概率
第六章 概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数 推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础 的。 第一节 基础概率 概率论起源于 17 世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研 究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为 10 ， 哪种情况出现的可能性较大？ 例如 17 世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个 6 点的机会比较多，而同时将两枚掷 24 次，出现一次双 6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们 在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗 (1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654 一 1705)提出了二 项分布理论。1814 年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该 书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后， 法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小 平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预 言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上 还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下， 观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。 例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发 现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是 0.5，这就是概率
随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。 在统计学中,我们把类似掷一枚硬币的行为(或对某一随机现象进行观察) 称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件 ①它可以在相同条件下重复进行 ②试验的所有结果事先已知; ③每次试验只出现这些可能结果中的一个,但不能预先断定出现哪个结果 l样本点 随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件(或称样本点) 2样本空间 所有样本点的全体称作样本空间( Sample space,记作9 [例]掷一颗骰子,试列出它的基本事件和样本空间。 随机事件: 简单事件:仅含样本空间中一个样本点的事件。 复合事件:含样本空间中一个样本点以上的的事件。 极端的随机事件: 不可能事件:从样本空间来看,不含任何基本事件,记作Φ。 必然事件:从样本空间来看,该事件事件是由其全部基本事件 所组成,记作S 1O≤P(2)≤1 [例]对掷一颗骰子的试验,我们研究如下 事件:①A为“点数是3”;②B为“出现奇数点”;③C为“出现点数不超过6 ④D为“点数是7”。 [解]因为9={1,2,3,4,5,6},所以 ①A={3},为简单事件 ②B={1,3,5},为复合事件 ③C={1,2,3,4,5,6},为必然事件;
随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。 在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察） 称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件： ①它可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有结果事先已知； ③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。 1.样本点 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点） 2.样本空间 所有样本点的全体称作样本空间(Sample space)，记作Ω [例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。 随机事件： 简单事件：仅含样本空间中一个样本点的事件。 复合事件：含样本空间中一个样本点以上的的事件。 极端的随机事件： 不可能事件：从样本空间来看 ，不含任何基本事件，记作Φ 。 必然事件：从样本空间来看 ，该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作 S 。 [例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A 为“点数是 3”；②B 为“出现奇数点”；③C 为“出现点数不超过 6”； ④D 为“点数是 7”。 [解] 因为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以 ①A＝{3} ，为简单事件； ②B＝{1，3，5}，为复合事件； ③C＝{1，2，3，4，5，6}，为必然事件； 0 P(E) 1
④D={7},为不可能事件。 2.事件之间的关系 (1)事件和(q A+B或A∪B B至少有一个事件发生所 构成的事件C称为 事件C称为A与B8网B或A∩B与事件B同时发生所构成的 (2)事件积(Asw 4<B或B→∠ (3)事 B发生,则称为B包 含A记作 AcB同时A→B 如果 则A=B (4)互斥事件 4∩B D称B和A是互斥事件, 或互不相容事件,记作 (5)对立事件 次试验中必有其 发生,称人与B为对B=A或A= (6)相互独立事件一一事件A的发生与事件B是否发生毫无关系,称A与 B为相互独立事A=A/B或B=B/A
④D＝{7}，为不可能事件。 2. 事件之间的关系 （1）事件和（Or conjunction)——事件 A 与事件 B 至少有一个事件发生所 构成的事件 C 称为 A 与 B 的事件和，记作 （2）事件积(As-well-as conjunction)——事件 A 与事件 B 同时发生所构成的 事件 C 称为 A 与 B 的事件积，记作 （3）事件的包含与相等——事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称为 B 包 含 A 记作 如果 则 A=B （4）互斥事件——事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 B 和 A 是互斥事件， 或互不相容事件，记作 （5）对立事件——事件 A 与事件 B 是互斥事件，且在一次试验中必有其一 发生，称 A 与 B 为对立事件（逆事件），记作 （6）相互独立事件——事件 A 的发生与事件 B 是否发生毫无关系，称 A 与 B 为相互独立事件，记作 A+ B或A B AB或A B A B或B A A B同时A B A B = B = A或A = B A = A/ B或B = B / A
两随机事件之间的 1. ACB 2. AUB 3.A∩B 4.A∩B= 图6.1两随机事件之间的关系 3.先验概率 在统计学中,有两种常见的确定概率的方法:古典法和频率法。 用古典法求出的概率 由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象,利用模型本身所具有的对称性 来事先求得概率,故被称为先验概率。 条件: (1)在一样本空间中,各样本点出现的机会均等 (2)该样本空间只右右阻(n个样木点。 这样对于含有m个样本()=既率为 用古典法求算概率,在应用上有两个缺点:①它只适用于有限样本点的情 况;②它假设机会均等,但这些条件实际上往往不能得到满足
两随机事件之间的关系： 3. 先验概率 在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古典法和频率法。 用古典法求出的概率 由普拉斯 1814 年提出。以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性 来事先求得概率，故被称为先验概率。 条件： （1）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（n)个样本点。 这样对于含有 m 个样本点的事件 A，其出现的概率为： 用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情 况；②它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足。 n m P(A) =
[例]掷两枚均匀的硬币,①求“两枚都朝上”的概率;②求“一枚朝 上,一枚朝下”的概率。 4、经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联系的事件 把这个试验一次又一次地做下去,每次都记录事件A是否发生了。假如做了n 次试验,而记录到()一“成功m次),则频数与试验次数 的比值,称作次试验屮于 显然,频玄目左双重性质随机性和扭往 当试验或P(A)=limf(A) 这个极限值就是用频 H→0 率法所定义的概 频率稳定到概率这个事实,给了“机会大小”即概率一个浅显而说得通的 解释,这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频 率学派 比如: 法国统计学家蒲丰( Buffon)把铜板抛了4040次,正面的次数是2048,比 例是0.5069。 1900年,英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次,正面的次数是12012, 比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时,把硬币抛了10000次,正面的次数是5067, 比例是0.5067 再如: 保险公司会利用概率进行人寿保险经营,比如研究表明20-24岁的男性中
[例] 掷两枚均匀的硬币， ①求“两枚都朝上”的概率； ②求“一枚朝 上，一枚朝下”的概率。 4、经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联系的事件 A， 把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件 A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件 A 发生了 m 次（即成功 m 次），则频数与试验次数 的比值，称作次试验中事件 A 发生的频率 显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极限值就是用频 率法所定义的概率，即 频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显而说得通的 解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频 率学派。 比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了 4040 次，正面的次数是 2048，比 例是 0.5069 。 1900 年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了 24000 次，正面的次数是 12012， 比例是 0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了 10000 次，正面的次数是 5067， 比例是 0.5067 。 再如： 保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明 20－24 岁的男性中 n m f (A) = n m P A f A n = = → ( ) lim ( )