1.2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 曾教学目标 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其 性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问 题 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a>0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研 究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a>0)图象和性 质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画y=ax2(a>0)的图象 2.理解,掌握图象的性质 【教学难点】 次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程 教学过程 、情境导入,初步认识 问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什 么?二次函数图象是什么形状呢? 问题2如何用描点法画一个函数图象呢?
5 1.2 二次函数的图象与性质 第 1 课时 二次函数 y=ax2 (a＞0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数 y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其 性质. 2.体会数形结合的转化,能用 y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问 题. 【过程与方法】 经历探索二次函数 y=ax 2 (a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研 究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数 y=ax 2 (a＞0)图象和性 质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画 y=ax 2 (a＞0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情境导入，初步认识 问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什 么?二次函数图象是什么形状呢? 问题 2 如何用描点法画一个函数图象呢?
【教学说明】①略;②列表、描点、连线 二、思考探究,获取新知 探究1画二次函数y=ax2(a>0)的图象 画二次函数y=ax2的图象 【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图 y=x2的图象,同学们画好后相互交流、展示,表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征 ③强调画拋物线的三个误区 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋 势. 如图(1)就是y=x2的图象的错误画法 2-12x2x-2-1⑦12x 误区二:并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形 如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x的图象的错误画法. 误区三∶忽视自变量的取值范围,拋物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要 向两旁无限延伸,而并非到某些点停止 如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x2图象的错误画法 探究2y=ax(a>0)图象的性质在同一坐标系中,画出y=x2,y=x2,y=2x2 的图象 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每 个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数 y=ax2(a>0)的图象和性质 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随ⅹ的增
6 【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知 探究 1 画二次函数 y=ax 2 (a＞0)的图象. 画二次函数 y=ax 2的图象. 【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图 y=x 2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于 y 轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋 势. 如图(1)就是 y=x 2的图象的错误画法. 误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的 y=x 2的图象的错误画法. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要 向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. 如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的 y=x 2图象的错误画法. 探究 2 y=ax 2 (a＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出 y=x 2 , 1 2 2 y x = ,y=2x2 的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一 个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数 y=ax2(a＞0)的图象和性质. 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随 x 的增
大时的变化情况等几个方面让学生归纳,教师整理讲评、强调. y=ax2(a>0)图象的性质 1.图象开口向上 2.对称轴是y轴,顶点是坐标原点,函数有最低点 3.当ⅹ>0时,y随ⅹ的增大而增大,简称右升;当ⅹ<0时,y随ⅹ的增大 而减小,简称左降 典例精析,掌握新知 例已知函数y=(k+2)x2是关于x的二次函数 (1)求k的值 (2)k为何值时,抛物线有最低点,最低点是什么?在此前提下,当x在哪 个范围内取值时,y随ⅹ的增大而增大? 【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的,由二次函数定 义列出关于k的方程,进而求出k的值,然后根据k+2>0,求出k的取值范围, 最后由y随ⅹ的增大而增大,求出ⅹ的取值范围 k+2≠0 解:(1)由已知得 解得k=2或k 所以当k=2或k=3时,函数y=(k+2)x2*是关于x的二次函数 (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2>0 由(1)知k=2,最低点是(0,0),当x≥0时,y随ⅹ的增大而增大 四、运用新知,深化理解 1.(广东广州中考)下列函数中,当x>0时,y值随ⅹ值增大而减小的是 2.已知点(-1,y1),(2,y2),(-3,y)都在函数y=x2的图象上,则( A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 3.抛物线y=x2的开口向 顶点坐标为 ,对称轴
7 大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调. y=ax 2 (a＞0)图象的性质 1.图象开口向上. 2.对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点. 3.当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，简称右升；当 x＜0 时，y 随 x 的增大 而减小，简称左降. 三、典例精析，掌握新知 例 已知函数 2 4 ( 2) k k y k x + − = + 是关于 x 的二次函数. (1)求 k 的值. (2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当 x 在哪 个范围内取值时，y 随 x 的增大而增大？ 【分析】此题是考查二次函数 y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定 义列出关于 k 的方程，进而求出 k 的值，然后根据 k+2＞0，求出 k 的取值范围， 最后由 y 随 x 的增大而增大，求出 x 的取值范围. 解:(1)由已知得 2 2 0 4 2 k k k + + − = ,解得 k=2 或 k=-3. 所以当 k=2 或 k=-3 时，函数 2 4 ( 2) k k y k x + − = + 是关于 x 的二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以 k+2＞0. 由（1）知 k=2，最低点是（0,0),当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大. 四、运用新知，深化理解 1.（广东广州中考）下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是 （ ） A.y=x2 B.y=x-1 C. 3 4 y x = D.y= 1 x 2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数 y=x 2的图象上，则（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y3 3.抛物线 y= 1 3 x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴
为 ,当x=-2时,y=;当y=3时 X- 当X≤0时, y随x的增大而 当x>0时,y随ⅹ的增大而 4.如图,抛物线y=ax2上的点B,C与x轴上的点A(-5,0),D(3,0)构 成平行四边形ABCD,BC与y轴交于点E(0,6),求常数a的值 【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时,教 师及时指导 【答案】1.D2.A3.上,(0,0),y轴,3’-减小,增大 4.解:依题意得:BC=AD=8,BC∥x轴,且抛物线y=ax2上的点B,C关于y 轴对称,又∵BC与y轴交于点E(0,6),∴B点为(-4,6),C点为(4,6) 将(4,6)代入y=ax2得:a=3 五、师生互动,课堂小结 1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a>0)图象的画法及其性质 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流 课后作业 1.教材P第1、2题 2.完成同步练习册中本课时的练习 教学反思 本节课是从学生画y=x2的图象,从而掌握二次函数y=ax2(a>0)图象的画法, 再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a>0)的性质,培养学生动手、动脑、探究 归纳问题的能力
8 为 ，当 x=-2 时，y= ；当 y=3 时，x= ,当 x≤0 时， y 随 x 的增大而 ；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而 . 4.如图，抛物线 y=ax 2上的点 B，C 与 x 轴上的点 A（-5，0），D（3，0）构 成平行四边形 ABCD，BC 与 y 轴交于点 E（0，6），求常数 a 的值. 【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教 师及时指导. 【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y 轴， 4 3 ，±3,减小，增大 4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线 y=ax 2上的点 B，C 关于 y 轴对称，又∵BC 与 y 轴交于点 E（0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6）， 将（4，6）代入 y=ax 2得：a= 3 8 . 五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数 y=ax 2 (a＞0)图象的画法及其性质. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 1.教材 P7第 1、2 题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是从学生画 y=x 2的图象，从而掌握二次函数 y=ax 2 (a＞0)图象的画法， 再由图象观察、探究二次函数 y=ax 2 (a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究 归纳问题的能力
第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 曾教学目标 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax(a<0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其 性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a<0)的图象与性质解决简单的实际问 题 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a<0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研 究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯, 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质 的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性 【教学重点】 ①会画y=ax2(a<0)的图象;②理解、掌握图象的性质 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会 教学过程 、情境导入,初步认识 1.在坐标系中画出y=x2的图象,结合y=x2的图象,谈谈二次函数 y=ax2(a>0)的图象具有哪些性质 2.你能画出y=-x2的图象吗? 思考探究,获取新知 探究1画y=ax2(a<0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连
9 第 2 课时 二次函数 y=ax2 (a＜0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数 y=ax 2 (a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其 性质. 2.体会数形结合的转化,能用 y=ax 2 (a＜0)的图象与性质解决简单的实际问 题. 【过程与方法】 经历探索二次函数 y=ax 2 (a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研 究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数 y=ax 2 (a≠0)图象和性质 的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画 y=ax 2 (a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会. 一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出 y= 1 2 x 2的图象，结合 y= 1 2 x 2的图象，谈谈二次函数 y=ax 2 (a＞0)的图象具有哪些性质？ 2.你能画出 y=- 1 2 x 2的图象吗？ 二、思考探究，获取新知 探究 1 画 y=ax 2 (a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连