8.2风险状况下的选择理论—期望效用 不确定状况下选择集的数学描述 彩票空间 ◆ 《金融经济学二十 定义8.3（简单彩票simple lottery):一张简单彩票L为一串数字L=(p, PW。其中pn为第n种结果出现的概率。对所有的n,有p之0，且∑P=l ◆ 定义8.4（复合彩票compound lottery)：如果有K张简单彩票 Lk=pPN,k=1,K,以及概率a20(∑=1)，复合彩票亿，L 进 a1,a以a为概率产生结果L - 套课件 复合彩票就是把简单彩票以一定概率再次组合起来，可以被化为简单彩票 (∑kO1,∑kOP ◆ 例子 一可能的结果是两个商品束A(2个苹果和1个梨)和B(1个苹果和2个梨) -简单彩票L1=0.5,0.5)表示以12的概率得到商品束A,1/2概率得到商品束B -简单彩票L2=0.25,0.75)以1/4概率得到A,3/4概率得到B -复合彩票亿，L2:0.5,0.5)以1/2概率得到彩票L1,1/2概率得到彩票L2:通过复 合彩票得到商品束A的概率为37.5%(=0.5×0.5+0.5×0.25)，得到商品束B的 概率为62.5%(=0.5×0.5+0.5×0.75) ◆所有可选简单彩票组成集合叫做彩票空间(space of lotteries),标记为c 6
《 金 融 经 济 学 二 十 五 讲 》 配 套 课 件 8.2 风险状况下的选择理论——期望效用 不确定状况下选择集的数学描述——彩票空间 ◆ 定义8.3（简单彩票simple lottery）：一张简单彩票L为一串数字L=(p1 , . ,pN)。其中pn为第n种结果出现的概率。对所有的n，有pn≥0，且∑npn=1 ◆ 定义8.4（复合彩票compound lottery）：如果有K张简单彩票 Lk=(p1 k ,.,pN k )，k=1,.,K，以及概率αk≥0（∑kαk=1），复合彩票(L1 ,.,LK; α1 ,., αK)以αk为概率产生结果Lk – 复合彩票就是把简单彩票以一定概率再次组合起来，可以被化为简单彩票 (∑kαkp1 k，.，∑kαkpN k ) ◆ 例子 – 可能的结果是两个商品束A（2个苹果和1个梨）和B（1个苹果和2个梨） – 简单彩票L1=(0.5, 0.5)表示以1/2的概率得到商品束A，1/2概率得到商品束B – 简单彩票L2= (0.25, 0.75)以1/4概率得到A，3/4概率得到B – 复合彩票(L1 , L2 ; 0.5, 0.5)以1/2概率得到彩票L1，1/2概率得到彩票L2；通过复 合彩票得到商品束A的概率为37.5%（=0.5×0.5+0.5×0.25），得到商品束B的 概率为62.5%（=0.5×0.5+0.5×0.75） ◆ 所有可选简单彩票组成集合叫做彩票空间（space of lotteries），标记为L 6
82风险状况下的选择理论—期望效用 期望效用理论 《金融经济学 ◆定义&.5（独立性公理independence axiom):称对彩票的一种偏好关系满 足独立性公理，如果对任意3张彩票A、B和C和任意0到1之间的数a,以 下条件总是成立 五讲》 AB台 aA+(1-a)C=aB+(1-a)C 配套课件 ◆ 命题82（期望效用定理)：如果定义在彩票空间L上的偏好是理性和连 续的，并且满足独立性公理，那么这样的偏好可用期望效用函数的形式 表述出来。也就是说，我们可以为每种结果n=L,N指定一个效用值4n 使得对任意两个彩票L=p1,PW与L'=p1,Pv)来说，必然有 LL'台 p,≥2p n=l 一期望效用定理意味着，满足理性、连续性、以及独立性公理的偏好可以表示 为期望效用函数的形式（冯诺伊曼-摩根斯坦效用函数或简称vNM效用函数） U(L)= (x)
《 金 融 经 济 学 二 十 五 讲 》 配 套 课 件 8.2 风险状况下的选择理论——期望效用 期望效用理论 ◆ 定义8.5（独立性公理independence axiom）：称对彩票的一种偏好关系满 足独立性公理，如果对任意3张彩票A、B和C和任意0到1之间的数α，以 下条件总是成立 ◆ 命题8.2（期望效用定理）：如果定义在彩票空间L上的偏好是理性和连 续的，并且满足独立性公理，那么这样的偏好可用期望效用函数的形式 表述出来。也就是说，我们可以为每种结果n=1, ., N指定一个效用值un ，使得对任意两个彩票L=(p1 , ., pN)与L'=(p1 ', ., pN')来说，必然有 – 期望效用定理意味着，满足理性、连续性、以及独立性公理的偏好可以表示 为期望效用函数的形式（冯诺伊曼-摩根斯坦效用函数或简称vNM效用函数） 7 A B A C B C (1 ) (1 ) + − + − 1 1 N N n n n n n n L L p u p u = = 1 ( ) ( ) N n n n U L p u x = =
独立性公理例子 《金融经济学二 假设明天有两个状态： 杂天睛om下雨 有两个计划可供选择： 五讲》 计划A:天晴去海滩玩4个小时，下雨看4个小时电视： 配套课件 计划B:天晴去海滩玩2个小时，看2个小时电视，下雨看4个小时电视： 假设A≥B,即天晴时，我们更想去海滩玩耍； 现在提供另外两个选择： 计划C:天晴在海滩玩4个小时，下雨工作4个小时； 计划D:天晴去海滩玩2个小时，看2个小时电视，下雨工作4个小时： 则我们的偏好依然是C≥D 结论：只要下雨时两种计划选择是相同的，那么下雨时候具体发生什么对天晴时候的 偏好没有影响。 8
《 金 融 经 济 学 二 十 五 讲 》 配 套 课 件 独立性公理例子 假设明天有两个状态： 天晴 or 下雨 有两个计划可供选择： 计划A: 天晴去海滩玩4个小时，下雨看4个小时电视； 计划B:天晴去海滩玩2个小时，看2个小时电视，下雨看4个小时电视； 假设 A≽B, 即天晴时，我们更想去海滩玩耍； 现在提供另外两个选择： 计划C: 天晴在海滩玩4个小时，下雨工作4个小时； 计划D:天晴去海滩玩2个小时，看2个小时电视，下雨工作4个小时； 则我们的偏好依然是 C ≽ D 结论：只要下雨时两种计划选择是相同的，那么下雨时候具体发生什么对天晴时候的 偏好没有影响。 8