机器人负载的动力学参数辨识

工程科学学报，第39卷，第12期：1907-1912,2017年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.12:1907-1912,December 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.018;http://journals..ustb.edu.cn 机器人负载的动力学参数辨识 张铁，覃彬彬，邹焱飚 华南理工大学机械与汽车工程学院，广州510641 ☒通信作者，E-mail:xiji531500@163.com 摘要为解决机器人末端负载的时变性给高速运动的机器人带来控制精度降低的问题，研究了参数差值法、力矩求解法、 全局参数辨识法的机器人末端负载动力学参数辨识的方法，以提高末端负载的辨识精度.得到的负载动力学参数用于动力 学控制以提高机器人动态精度.通过建立拉格朗日动力学线性辨识模型，以最优激励轨迹进行实时数据采集，采样数据经过 低通滤波及中心差分的处理后，代入相应的负载辨识方程式，并用加权最小二乘法解决线性方程组，可辨识到不同负载的动 力学参数.实验验证了负载辨识方法的可行性. 关键词机器人负载：动力学：线性模型：激励轨迹：辨识：负载参数 分类号TP242.2 Identification methods for robot payload dynamical parameters ZHANG Tie,QIN Bin-bin,ZOU Yan-biao School of Mechanical and Automotive Engineering,South China University of Technology,Guangzhou 510641,China Corresponding author,E-mail:xiji531500@163.com ABSTRACT To solve the problem of low precision control in high speed motion robots due to a time-varying payload and to improve the identification accuracy of the payload,the dynamical parameter identification methods for robot end payload were studied.These methods included the parameter difference method,the moment method,and the global parameter identification method.The parame- ters were used to improve the dynamic precision in robot dynamic control.The dynamical parameters for different payloads can be iden- tified with the Lagrange dynamic linear identification model,which acquires real-time data using the optimal incentive path and solves the equations by using the least square weight algorithm after the sample data was processed with a low-pass filter and central difference processes.The feasibility of the method was verified by experiments. KEY WORDS robot payload:dynamic:linear model:incentive path:identification:payload parameters 由于末端受到不同负载的影响，高速运动的机器惯性参数公式求解机器人连杆的惯性参数，该方法可 人控制精度会降低，而对负载的动力学参数辨识后可 以不用拆解机器人零部件.王树新等0利用三维仿真 基于负载动力学性能进行控制以提高其运动精度.大 设计软件CAD,研究计算机器人的动力学参数.但一 部分机器人负载动力学参数的辨识需要在辨识出机器 般使用者都得不到准确的机器人CAD图纸，因而也得 人本体的动力学参数后再辨识负载参数，机器人连杆 不到所需的动力学参数数据.解体实验测量法是将机 动力学参数辨识的通用方法主要有：(1)CAD软件辨 器人拆开，用实验装置或测量平台确定刚体的惯性参 识参数法Ⅲ：(2)物理实验法四；(3)动力学模型辨识 数.Armstrong等就将一台PUMA560拆开后进行惯 理论法B@.CAD方法是根据机器人的机构图，利用 性参数的测量，此方法工作繁杂且具有局限性.动力 收稿日期：2017-02-17 基金项目：国家高档数控机床与基础制造装备科技重大专项资助项目(2015ZX04005006):广东省科技重大专项资助项目(2014B090921004, 2014B090920001):广州市科技重大专项资助项目(20160404009)

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期: 1907--1912，2017 年 12 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 12: 1907--1912，December 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 12． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 机器人负载的动力学参数辨识 张 铁，覃彬彬，邹焱飚 华南理工大学机械与汽车工程学院，广州 510641 通信作者，E-mail: xiji531500@ 163． com 摘 要 为解决机器人末端负载的时变性给高速运动的机器人带来控制精度降低的问题，研究了参数差值法、力矩求解法、 全局参数辨识法的机器人末端负载动力学参数辨识的方法，以提高末端负载的辨识精度． 得到的负载动力学参数用于动力 学控制以提高机器人动态精度． 通过建立拉格朗日动力学线性辨识模型，以最优激励轨迹进行实时数据采集，采样数据经过 低通滤波及中心差分的处理后，代入相应的负载辨识方程式，并用加权最小二乘法解决线性方程组，可辨识到不同负载的动 力学参数． 实验验证了负载辨识方法的可行性． 关键词 机器人负载; 动力学; 线性模型; 激励轨迹; 辨识; 负载参数 分类号 TP242. 2 Identification methods for robot payload dynamical parameters ZHANG Tie，QIN Bin-bin ，ZOU Yan-biao School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China Corresponding author，E-mail: xiji531500@ 163． com ABSTＲACT To solve the problem of low precision control in high speed motion robots due to a time-varying payload and to improve the identification accuracy of the payload，the dynamical parameter identification methods for robot end payload were studied． These methods included the parameter difference method，the moment method，and the global parameter identification method． The parame￾ters were used to improve the dynamic precision in robot dynamic control． The dynamical parameters for different payloads can be iden￾tified with the Lagrange dynamic linear identification model，which acquires real-time data using the optimal incentive path and solves the equations by using the least square weight algorithm after the sample data was processed with a low-pass filter and central difference processes． The feasibility of the method was verified by experiments． KEY WOＲDS robot payload; dynamic; linear model; incentive path; identification; payload parameters 收稿日期: 2017--02--17 基金项目: 国家高档数控机床与基础制造装备科技重大专项资助项目( 2015ZX04005006) ; 广东省科技重大专项资助项目( 2014B090921004， 2014B090920001) ; 广州市科技重大专项资助项目( 20160404009) 由于末端受到不同负载的影响，高速运动的机器 人控制精度会降低，而对负载的动力学参数辨识后可 基于负载动力学性能进行控制以提高其运动精度． 大 部分机器人负载动力学参数的辨识需要在辨识出机器 人本体的动力学参数后再辨识负载参数，机器人连杆 动力学参数辨识的通用方法主要有: ( 1) CAD 软件辨 识参数法［1］; ( 2) 物理实验法［2］; ( 3) 动力学模型辨识 理论法［3--10］． CAD 方法是根据机器人的机构图，利用 惯性参数公式求解机器人连杆的惯性参数，该方法可 以不用拆解机器人零部件． 王树新等［1］利用三维仿真 设计软件 CAD，研究计算机器人的动力学参数． 但一 般使用者都得不到准确的机器人 CAD 图纸，因而也得 不到所需的动力学参数数据． 解体实验测量法是将机 器人拆开，用实验装置或测量平台确定刚体的惯性参 数． Armstrong 等［2］就将一台 PUMA560 拆开后进行惯 性参数的测量，此方法工作繁杂且具有局限性． 动力

·1908· 工程科学学报，第39卷，第12期 学模型辨识理论法是利用动力学参数辨识的线性模型 负载 来估算出机器人连杆的惯性参数.文献1]提到在不 本体 计摩擦力的前提下，机器人驱动力矩是机器人连杆惯 性参数的线性函数.文献2]进一步从能量的角度阐 明了机器人最小惯性参数集的概念和惯性参数重组的 方法.但这些方法都只辨识机器人连杆的动力学参 数，没有扩展性辨识到末端负载的惯性参数. 目前对机器人末端负载参数进行准确性辨识研究 D 较少，且考虑到负载存在一些时变不确定因素导致其 参数辨识困难，包括末端抓取负载位置不同，负载位置 随运动而变化，质量可变，以及常用的激励轨迹不经优 化，给采样信号带来高频噪声的影响，从而导致负载参 底座 数辨识不准确等问题.本文研究了动力学参数差值 法、力矩求解法、全局参数辨识法，用于提高负载的辨 识精度.这种方法具有由繁入简，且能减少重复代入 计算误差的特点，在保证辨识参数精度与可行性的前 提下，以不同计算方式进行负载辨识，表现为用实际采 图1六自由度工业机器人连杆坐标系 样力矩值代替计算值进行辨识：用全局矩阵方程式代 Fig.I Six degree of freedom robot coordinate system 替传统计算公式，既可减少计算工作量，又能节省机器 器人关节i的摩擦力矩.式(1)中涉及的机器人连杆 时间. 动力学参数有：连杆i在坐标系i下的六个惯性张量参 本文基于动力学线性辨识模型，设计满足位置、速 数：LL,LaL,LLa:LmLL分别表示第i 度、加速度等边界条件的快速收敛优化有限傅里叶级 个连杆对应自身参考坐标系下x轴、y轴、z轴的主惯 数的激励轨迹，通过计算傅里叶级数的最小条件数得 性矩；L,LaL分别表示第i个连杆对应自身参考坐 出最优的激励轨迹系数，获取最优采样轨迹，并根据机 标系下x轴y轴、z轴的惯量积；连杆i质心为lalw、 器人末端负载辨识方法逐一求解. l:连杆i的质量参数为m:电机i转动惯量为I;摩 1 机器人动力学建模 擦力系数为∫u 1.2动力学辨识线性模型 实验对象的工业机器人是具有六个旋转关节的开 在已经建立的机器人动力学拉格朗日方程(1) 环连杆机器人，承载能力为3kg 中，提取出所要求的动力学参数，定义X。为未知参数 1.1六自由度机器人拉格朗日方程的建立 矩阵，未知参数的系数整合为观测矩阵W,则辨识线 根据Denavit--Hartenberg模型坐标系的构建原则， 性模型表示为， 对实验对象进行连杆坐标系的构建，如图1所示. 建立动力学模型目的在于表达所有运动关节的位 T=店=现ai动x (3) 置、角速度、角加速度以及关节力矩之间的关系.由文 式中，W是W,第i列向量，W,(q:9:g:)为n×N 献314]及Paul提出的拉格朗日方程建模，六自 矩阵，定义水=Xa…X] 由度工业机器人的各个连杆的几何参数（转角、杆长、 X表示的第i个连杆动力学参数向量： 扭角、关节偏移)和动力学参数完全确定了这个微分 Xsi=ir Ligy Li Liny Liyz Li lis liy lis mi lai faf 方程组， (4) =D,+1+ ,D9j9&+ 由于动力学参数矩阵X.是在离线条件下进行辨识的， D,+f.sign(9:）+f9 (1) 而且离线数据的采集主要跟踪机器人已规划好的轨迹 点，考虑到参数辨识的误差给模型精度带来一定影响 式中，D为关节i和关节j之间耦合的惯性项；I为关 节i的驱动器惯量项；D,为哥式力和向心力项；D为作 (化.=X.+△r,X,是离线辨识的参数，△r是理论参数 用于关节i的重力项.4和4为关节j的角速度和角 与实际参数的差值)，引进误差矢量p,将式(3)改写为 加速度.最后2项为文献6]提到的摩擦力项， T=W,(q:99:)X.+p. (5) Ta=f.sign(g:）+f9 (2) 式中，p=W,（9:9:9:)△，为n×1的误差矢量矩 式中，∫和f是黏性摩擦力、库伦摩擦力系数，r。为机 阵，表示理论值与实际力矩值之间存在的误差

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 学模型辨识理论法是利用动力学参数辨识的线性模型 来估算出机器人连杆的惯性参数． 文献［11］提到在不 计摩擦力的前提下，机器人驱动力矩是机器人连杆惯 性参数的线性函数． 文献［12］进一步从能量的角度阐 明了机器人最小惯性参数集的概念和惯性参数重组的 方法． 但这些方法都只辨识机器人连杆的动力学参 数，没有扩展性辨识到末端负载的惯性参数． 目前对机器人末端负载参数进行准确性辨识研究 较少，且考虑到负载存在一些时变不确定因素导致其 参数辨识困难，包括末端抓取负载位置不同，负载位置 随运动而变化，质量可变，以及常用的激励轨迹不经优 化，给采样信号带来高频噪声的影响，从而导致负载参 数辨识不准确等问题． 本文研究了动力学参数差值 法、力矩求解法、全局参数辨识法，用于提高负载的辨 识精度． 这种方法具有由繁入简，且能减少重复代入 计算误差的特点，在保证辨识参数精度与可行性的前 提下，以不同计算方式进行负载辨识，表现为用实际采 样力矩值代替计算值进行辨识; 用全局矩阵方程式代 替传统计算公式，既可减少计算工作量，又能节省机器 时间． 本文基于动力学线性辨识模型，设计满足位置、速 度、加速度等边界条件的快速收敛优化有限傅里叶级 数的激励轨迹，通过计算傅里叶级数的最小条件数得 出最优的激励轨迹系数，获取最优采样轨迹，并根据机 器人末端负载辨识方法逐一求解． 1 机器人动力学建模 实验对象的工业机器人是具有六个旋转关节的开 环连杆机器人，承载能力为 3 kg． 1. 1 六自由度机器人拉格朗日方程的建立 根据 Denavit--Hartenberg 模型坐标系的构建原则， 对实验对象进行连杆坐标系的构建，如图 1 所示． 建立动力学模型目的在于表达所有运动关节的位 置、角速度、角加速度以及关节力矩之间的关系． 由文 献［13--14］及 Paul［15］提出的拉格朗日方程建模，六自 由度工业机器人的各个连杆的几何参数( 转角、杆长、 扭角、关节偏移) 和动力学参数完全确定了这个微分 方程组， τi = ∑ 6 j = 1 Dij q ·· j + Iai q ·· i + ∑ 6 j = 1 ∑ 6 k = 1 Dijk q · j q · k + Di + fsisign( q · i ) + fvi q · i ． ( 1) 式中，Dij为关节 i 和关节 j 之间耦合的惯性项; Iai为关 节 i 的驱动器惯量项; Dijk为哥式力和向心力项; Di为作 用于关节 i 的重力项． q· j 和 q ·· j 为关节 j 的角速度和角 加速度． 最后2项为文献［16］提到的摩擦力项， τfi = fsisign( q · i ) + fvi q · i ． ( 2) 式中，fsi和 fvi是黏性摩擦力、库伦摩擦力系数，τfi为机 图 1 六自由度工业机器人连杆坐标系 Fig． 1 Six degree of freedom robot coordinate system 器人关节 i 的摩擦力矩． 式( 1) 中涉及的机器人连杆 动力学参数有: 连杆 i 在坐标系 i 下的六个惯性张量参 数: Lixx、Liyy、Lizz、Lixy、Lixz、Liyz ． Lixx、Liyy、Lizz分别表示第 i 个连杆对应自身参考坐标系下 x 轴、y 轴、z 轴的主惯 性矩; Lixy、Lixz、Liyz分别表示第 i 个连杆对应自身参考坐 标系下 x 轴、y 轴、z 轴的惯量积; 连杆 i 质心为 lix、liy、 liz ; 连杆 i 的质量参数为 mi ; 电机 i 转动惯量为 Iai ; 摩 擦力系数为 fsi、fvi ． 1. 2 动力学辨识线性模型 在已经建立的机器人动力学拉格朗日方程( 1) 中，提取出所要求的动力学参数，定义 χs 为未知参数 矩阵，未知参数的系数整合为观测矩阵 Ws，则辨识线 性模型表示为， τ = ∑ Ns i = 1 Wi sχsi = Ws( qi q · i q ·· i ) χs． ( 3) 式中，Wi s 是 Ws 第 i 列向量，Ws ( qi q · i q ·· i ) 为 n × Ns 矩阵，定义 χs =［χs1 χs2 … χsn］T ． χsi表示的第 i 个连杆动力学参数向量: χsi =［Lixx Lixy Lixz Liyy Liyz Lizz lix liy liz mi Iai fsi fvi ］． ( 4) 由于动力学参数矩阵 χs 是在离线条件下进行辨识的， 而且离线数据的采集主要跟踪机器人已规划好的轨迹 点，考虑到参数辨识的误差给模型精度带来一定影响 ( χs = χ^ s + Δχ，χ^ s 是离线辨识的参数，Δχ 是理论参数 与实际参数的差值) ，引进误差矢量 ρ，将式( 3) 改写为 τ = Ws( qi q · i q ·· i ) χ^ s + ρ． ( 5) 式中，ρ = Ws ( qi q · i q ·· i ) Δχ，为 n × 1 的误差矢量矩 阵，表示理论值与实际力矩值之间存在的误差． · 8091 ·

张铁等：机器人负载的动力学参数辨识 ·1909· 由于观测矩阵W含有一些零列（这些列项相对 2负载的动力学参数辨识 应的动力学参数对机器人动力学不产生影响)或者含 有一些线性相关的列项时，运用QR(正交三角）分解 2.1激励轨迹设计 原理，见文献7]，将线性方程组重新组合 为了提高参数辨识的收敛速度和抗噪能力，采用 快速收敛优化有限傅里叶级数作为激励轨迹.该轨迹 Wx.=[W 的优势在于信号处理上能提高信噪比，且容易生成和 Xa」 易于解析求导，能涵盖辨识观测矩阵所需的所有未知 「R (6) 变量，包括各关节的角度、角速度及角加速度，利于公 式计算. 式中，W。是各列项间线性无关的子矩阵，X。是对应的 考虑到开环控制系统的局限性，激励轨迹受到电 动力学参数向量：W。是独立无效的列项组成的子矩 机力矩、关节位置、关节速度、关节加速度和工作空间 阵，X:是余下的动力学参数向量：QQ:是正交矩阵， 的约束，为解决激励函数中的目标函数计算量大，约束 R.为n,×nh的上三角形矩阵，R,为n,×n的上三角 条件过多等问题，在此采用快速收敛优化有限傅里叶 形矩阵：表示基础动力学参数个数. 级数的方法进行激励，能提高机器人运动的采样精度， 将W,写成W。的线性组合表达形式， 以用于后续的参数辨识.由文献8]可知，机器人各 Wa=WiK=OR=QRKa (7) 关节运动激励轨迹为 则有： .0=立gn(e- cos(w,）+9n, W K] +p=不 (8) XaJ 元O=宫as(c0+的n(c0， 式中，K=RR 由式(8)简化为以下回归矩阵线性形式 ,()=∑ -ajw lsin (wlt)bw lcos (w lt). T=WY+p. (9) (14) 式中，W=W。为化简后的回归矩阵：X=X。+Ka为 式中，9：4：和9：分别为关节i的角度、角速度和角加 耦合的基础动力学参数 速度：地，是傅里叶级数的基础角频率；i和是傅里 1.3加权最小二乘算法 叶级数的系数，其中l=1,2,…,N:9m是关节i的偏 加权最小二乘法叼在算法上考虑误差权系数来 置，i=1,2,…,n,n为机器人的关节数目. 求解线性辨识方程式(9)，以提高辨识精度.回归变量 取有限傅里叶级数的一个周期T,以一定的时间 误差是权系数的基础. 间隔△生成时间序列t,且要求满足t= 关节的回归变量误差为 2…].将时间序列t代入方程式中得到 6os=∥r山-WeI2 (10) T/△t组实验数据角度9角速度9：和角加速度9：将 s-n 实验数据（角度9：~角速度9：和角加速度9：)代入矩阵 式中，s为计算力矩r对应的方程个数 W(9:9:9:),合并成一个矩阵W,计算矩阵 关节权系数可由回归变量误差的倒数表示， W的最小条件数，作为有限傅里叶级数激励轨迹非 11… h=8ous() 线性优化的目标函数 Sos) () (11) ming.cond(W）, 将所有关节权系数组合成以下的权矩阵， s.t.qmin≤min(q/a）, Diag (h) 0 9。≤min（g）, Diag (h) H (12) 9an≤min(gn）, 0 Diag(h) max(qrvr）≤qa, 对于采样时间1=V时，得到N组采样数据q()与力 max(gr/）≤gms, (15) 矩：(，)，将角度值q采用中心差分法得到角速度9以 max(9r）≤g' 及角加速度9，代入式子(3)中，可得到V组采样值对 min(ai)≤ai≤max(a), 应的观测矩阵W,和力矩向量： min(b)≤b≤max(b), 用加权最小二乘法辨识动力学参数： min(qa）≤qn≤max(qn）, Ks=argmin-HW,尤，‖2. (13) i=1,2,…,n;l=1,2,…,N

张 铁等: 机器人负载的动力学参数辨识 由于观测矩阵 Ws 含有一些零列( 这些列项相对 应的动力学参数对机器人动力学不产生影响) 或者含 有一些线性相关的列项时，运用 QＲ( 正交三角) 分解 原理，见文献［17］，将线性方程组重新组合． Wsχs =［Wb Wd］ χb χ[ ] d = ［Qb Qd］ Ｒb Ｒd [ ] 0 0 χb χ[ ] d ． ( 6) 式中，Wb 是各列项间线性无关的子矩阵，χb 是对应的 动力学参数向量; Wd 是独立无效的列项组成的子矩 阵，χd 是余下的动力学参数向量; Qb、Qd 是正交矩阵， Ｒb 为 nb × nb 的上三角形矩阵，Ｒd为 nb × nb 的上三角 形矩阵; nb 表示基础动力学参数个数． 将 Wd 写成 Wb 的线性组合表达形式， Wd = WbKd = QbＲd = QbＲbKd ． ( 7) 则有: Wb ［1 Kd］ χb χ[ ] d + ρ = τ． ( 8) 式中，Kd = Ｒ － 1 b Ｒd ． 由式( 8) 简化为以下回归矩阵线性形式 τ = Wχ^ + ρ． ( 9) 式中，W = Wb 为化简后的回归矩阵; χ^ = χb + Kdχd 为 耦合的基础动力学参数． 1. 3 加权最小二乘算法 加权最小二乘法［17］在算法上考虑误差权系数来 求解线性辨识方程式( 9) ，以提高辨识精度． 回归变量 误差是权系数的基础． 关节的回归变量误差为 ^ δOLS = ‖τ( k) － W( k) χ^‖2 s － nb ． ( 10) 式中，s 为计算力矩 τ( k) 对应的方程个数． 关节权系数可由回归变量误差的倒数表示， h = 1 ^ δOLS( 1) 1 ^ δOLS( 2) … 1 ^ [ δOLS( N) ]． ( 11) 将所有关节权系数组合成以下的权矩阵， H = Diag( h) 0 Diag( h) … 0 Diag( h          )  ． ( 12) 对于采样时间 t = N 时，得到 N 组采样数据 q( ti ) 与力 矩 τ( ti ) ，将角度值 q 采用中心差分法得到角速度 q · 以 及角加速度 q ·· ，代入式子( 3) 中，可得到 N 组采样值对 应的观测矩阵 Ws 和力矩向量 τ． 用加权最小二乘法辨识动力学参数: χ^ WLS = argmin ‖Hτ － HWs χ^ s‖2 ． ( 13) 2 负载的动力学参数辨识 2. 1 激励轨迹设计 为了提高参数辨识的收敛速度和抗噪能力，采用 快速收敛优化有限傅里叶级数作为激励轨迹． 该轨迹 的优势在于信号处理上能提高信噪比，且容易生成和 易于解析求导，能涵盖辨识观测矩阵所需的所有未知 变量，包括各关节的角度、角速度及角加速度，利于公 式计算． 考虑到开环控制系统的局限性，激励轨迹受到电 机力矩、关节位置、关节速度、关节加速度和工作空间 的约束，为解决激励函数中的目标函数计算量大，约束 条件过多等问题，在此采用快速收敛优化有限傅里叶 级数的方法进行激励，能提高机器人运动的采样精度， 以用于后续的参数辨识． 由文献［18］可知，机器人各 关节运动激励轨迹为 qi ( t) = ∑ Ni l = 1 ai l wf l sin ( wf lt) － bi l wf l cos ( wf lt) + qi0， q · i ( t) = ∑ Ni l = 1 ai lcos ( wf lt) + bi lsin ( wf lt) ， q ·· i ( t) = ∑ Ni l = 1 － ai lwf lsin ( wf lt) + bi lwf lcos ( wf lt)        ． ( 14) 式中，qi、q · i 和 q ·· i 分别为关节 i 的角度、角速度和角加 速度; wf 是傅里叶级数的基础角频率; ai l 和 bi l 是傅里 叶级数的系数，其中 l = 1，2，…，Ni ; qi0 是关节 i 的偏 置，i = 1，2，…，n，n 为机器人的关节数目． 取有限傅里叶级数的一个周期 T，以一定的时间 间 隔 Δt 生 成 时 间 序 列 t，且 要 求 满 足 t = ［t1 t2 … tT/Δt ］． 将时间序列 t 代入方程式中得到 T /Δt 组实验数据角度 qi、角速度 q · i 和角加速度 q ·· i ． 将 实验数据( 角度 qi、角速度 q · i 和角加速度 q ·· i ) 代入矩阵 Ws( qi q · i q ·· i ) ，合 并 成 一 个 矩 阵 WT/Δt，计 算 矩 阵 WT/Δt的最小条件数，作为有限傅里叶级数激励轨迹非 线性优化的目标函数． minai l ，bi l ，qi0 cond( WT/Δt ) ， s． t． qmin≤min( qT/Δt ) ， q · min≤min ( q · T/Δt ) ， q ·· min≤min ( q ·· T/Δt ) ， max ( qT/Δt ) ≤qmax， max ( q · T/Δt ) ≤q · max， max ( q ·· T/Δt ) ≤q ·· max， min ( ai l ) ≤ai l≤max ( ai l ) ， min ( bi l ) ≤bi l≤max ( bi l ) ， min ( qi0 ) ≤qi0≤max ( qi0 ) ， i = 1，2，…，n; l = 1，2，…，N． ( 15) · 9091 ·

·1910· 工程科学学报，第39卷，第12期 通过式(15)计算，得到使目标条件数最小的傅里 参数 叶级数的系数，即可获得如表1所示的最优激励轨迹 将表1所示的优化好的激励轨迹系数及傅里叶级 表1优化后的激励轨迹参数 Table 1 Optimized excitation trajectory parameters 关节 90 时 吋 岭 时 的 1 -0.001 0.092 -1.071 0.062 0.096 -0.273 0.839 2 -1.504 -0.027 -0.383 -0.051 -0.222 0.387 -0.931 3 -1.303 -0.026 0.795 -0.122 -0.429 0.246 0.598 4 -0.231 -0.250 -0.661 0.111 0.183 0.492 -1.501 5 -0.136 -0.173 0.616 -0.129 0.873 0.430 -0.678 6 -0.300 -0.667 -0.916 -0.044 0.132 -1.158 -0.898 关节 a 吃 as b 喊 哈 0.011 -0.050 0.411 -0.290 0.326 -0.064 2 -0.375 -0.572 -0.434 0.577 0.461 0.811 -0.096 0.838 -0.236 -0.320 0.076 -0.498 -0.514 -0.179 0.107 0.919 0.838 0.138 -0.133 0.017 0.239 -0.895 -0.328 0.848 6 -0.467 -0.682 -0.234 -1.190 -0.351 0.245 数的角频率w,用于式(14)的计算，取傅里叶级数周期 负载参数有主惯性矩：LikerLoak,L:惯性积：L, T=N,可得到N组关节角q,仿真得到如图2所示的最 LdeL;质心与质量：Lolb、l、md· 优激励轨迹 把负载惯性参数转换到机器人末端连杆坐标系 中，重新组合得到式(17)，Wt,为连杆与负载合成 20 的观测矩阵，X为连杆与负载合成的基础动力学 10 参数 T=WLta（g9q)x+p. (17) -20 算法步骤如下. 1)选取最优的激励轨迹，在零负载的条件下进行 2010 0 30 数据采样实验，将采样数据关节角9与力矩值？经过 10 Y/mm 20300为0152025 X/mm 低通滤波及中心差分处理之后，代入式(17)中并利用 图2最优激励轨迹下的末端轨迹图 加权最小二乘法计算，得到一组零负载的基础动力学 Fig.2 End trajectory under optimal excitation 参数X· 2.2负载辨识算法 2）在相同激励轨迹条件下，末端装上负载1进行 数据采集实验，用同样辨识方法可得到一组负载1的 2.2.1动力学参数差值法 动力学参数差值法网求取负载惯性参数可利用 基础动力学参数X:同理，也可得到负载2的基础动 力学参数K· 含负载的动力学参数与零负载的动力学参数作差值运 3)求取负载1的基础动力学参数： 算，求取负载的动力学参数 机器人末端装上负载时，式(3)变为： △r1=Xi-Xg, (18) 求取负载2的基础动力学参数： T=Wuin (qq )x+WLd (qq q)+p. Ar2=X2-Xo. (19) (16) 2.2.2力矩求解法 式中：x为测量力矩向量（含负载），W为不含负载对 力矩求解法是求取负载动力学参数中最为简单的 应的观测矩阵X为不含负载对应的基础动力学参数： 一种.假设控制系统足够高效，在有、无负载情况下， W(ggg)为负载惯性参数对应的观测矩阵XL 无位置误差.设定好机器人在优化好的激励轨迹下运 为负载的基础动力学参数向量KLd=LrLh, 动，分别在有、无负载的条件下进行数据采样，读取力 Llawds:Lioady Liwdy?Lfade Lionds Lioady loadke mod 矩数值记为1，无负载条件下读取力矩数值记为T:

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 通过式( 15) 计算，得到使目标条件数最小的傅里 叶级数的系数，即可获得如表 1 所示的最优激励轨迹 参数． 将表 1 所示的优化好的激励轨迹系数及傅里叶级 表 1 优化后的激励轨迹参数 Table 1 Optimized excitation trajectory parameters 关节 qi0 ai 1 bi 1 ai 2 bi 2 ai 3 bi 3 1 － 0. 001 0. 092 － 1. 071 0. 062 0. 096 － 0. 273 0. 839 2 － 1. 504 － 0. 027 － 0. 383 － 0. 051 － 0. 222 0. 387 － 0. 931 3 － 1. 303 － 0. 026 0. 795 － 0. 122 － 0. 429 0. 246 0. 598 4 － 0. 231 － 0. 250 － 0. 661 0. 111 0. 183 0. 492 － 1. 501 5 － 0. 136 － 0. 173 0. 616 － 0. 129 0. 873 0. 430 － 0. 678 6 － 0. 300 － 0. 667 － 0. 916 － 0. 044 0. 132 － 1. 158 － 0. 898 关节 ai 4 bi 4 ai 5 bi 5 ai 6 bi 6 1 0. 011 － 0. 050 0. 411 － 0. 290 0. 326 － 0. 064 2 － 0. 375 － 0. 572 － 0. 434 0. 577 0. 461 0. 811 3 － 0. 096 0. 838 － 0. 236 － 0. 320 0. 076 － 0. 498 4 － 0. 514 － 0. 179 0. 107 0. 919 0. 838 0. 138 5 － 0. 133 0. 017 0. 239 － 0. 895 － 0. 328 0. 848 6 － 0. 467 － 0. 682 － 0. 234 － 1. 190 － 0. 351 0. 245 数的角频率 wf 用于式( 14) 的计算，取傅里叶级数周期 T = N，可得到 N 组关节角 q，仿真得到如图 2 所示的最 优激励轨迹． 图 2 最优激励轨迹下的末端轨迹图 Fig． 2 End trajectory under optimal excitation 2. 2 负载辨识算法 2. 2. 1 动力学参数差值法 动力学参数差值法［19］求取负载惯性参数可利用 含负载的动力学参数与零负载的动力学参数作差值运 算，求取负载的动力学参数． 机器人末端装上负载时，式( 3) 变为: τ = WLink ( q q· q ·· ) χ + WLoad ( q q· q ·· ) χLoad + ρ． ( 16) 式中: τ 为测量力矩向量( 含负载) ，WLink为不含负载对 应的观测矩阵; χ 为不含负载对应的基础动力学参数; WLoad ( q q· q ·· ) 为负载惯性参数对应的观测矩阵; χLoad 为负载的基础动力学参数向量，χLoad =［Lloadxx Lloadxy Lloadxz Lloadyy Lloadyz Lloadzz lloadx lloady lloadz mload］; 负载参数有主惯性矩: Lloadxx、Lloadyy、Lloadzz ; 惯性积: Lloadxy、 Lloadxz、Lloadyz ; 质心与质量: lloadx、lloady、lloadz、mload ． 把负载惯性参数转换到机器人末端连杆坐标系 中，重新组合得到式( 17) ，WLink + Load为连杆与负载合成 的观测 矩 阵，χ* 为连杆与负载合成的基础动力学 参数． τ = WLink + Load ( q q· q ·· ) χ* + ρ． ( 17) 算法步骤如下． 1) 选取最优的激励轨迹，在零负载的条件下进行 数据采样实验，将采样数据关节角 q 与力矩值 τ 经过 低通滤波及中心差分处理之后，代入式( 17) 中并利用 加权最小二乘法计算，得到一组零负载的基础动力学 参数 χ* 0 ． 2) 在相同激励轨迹条件下，末端装上负载 1 进行 数据采集实验，用同样辨识方法可得到一组负载 1 的 基础动力学参数 χ* 1 ; 同理，也可得到负载 2 的基础动 力学参数 χ* 2 ． 3) 求取负载 1 的基础动力学参数: Δχ1 = χ* 1 － χ* 0 ， ( 18) 求取负载 2 的基础动力学参数: Δχ2 = χ* 2 － χ* 0 ． ( 19) 2. 2. 2 力矩求解法 力矩求解法是求取负载动力学参数中最为简单的 一种． 假设控制系统足够高效，在有、无负载情况下， 无位置误差． 设定好机器人在优化好的激励轨迹下运 动，分别在有、无负载的条件下进行数据采样，读取力 矩数值记为 τT，无负载条件下读取力矩数值记为 τWL ． · 0191 ·

张铁等：机器人负载的动力学参数辨识 1911 分别使r=T,和r=T,用式(17)进行参数辨识. 加工1.5kg与3kg零件作为机器人负载，以动力 辨识方程为 学参数差值法、力矩求解法、全局参数辨识法为理论依 Ki (Wi)(-Tw), (20) 据依次展开实验.用最优的激励轨迹进行实时数据采 Wt=(WIW）-Wi (21) 样，将采样数据经过处理，利用加权最小二乘法计算动 式中，W为负载相关的观测矩阵 力学参数，可得表3的实验结果 2.2.3全局参数辨识法 表3辨识负载质量结果分析表 全局参数辨识法是用零负载的辨识方程式与含负 Table 3 Analysis of identification result for payload quality 载的辨识方程式重组成辨识模型，利用加权最小二乘 1.5kg负载 3kg负载 法求解得到辨识参数.此方法可有效避免了按序列辨 方法 实验辨识结果误差/%实验辨识结果误差/% 识方法所产生的累积误差. 参数差值法 1.450 3.30 2.964 1.20 辨识方程为 力矩求解法 1.483 1.10 2.960 1.33 全局辨识法 1.498 0.12 3.009 0.33 (22) 由表3可知，在同样最优激励轨迹实验条件下，利 「Tn=WLiK, (23) 用上述3种方法分别进行1.5kg负载辨识时，辨识结 TT=Wint Wiu 果误差最小为0.12%，最大为3.3%：进行3kg辨识 采用此方法时，有、无负载情况下需用两种不同的 时，辨识结果误差最小为0.33%，最大为1.33%. 激励轨迹进行，最后将上述矩阵(22)用加权最小二乘 从实验结果得出，参数差值法、力矩求解法、全局 法求解，解出所需的机器人基础动力学参数以及负载 辨识法用作本实验平台的负载辨识方法较为理想.参 的动力学参数 数差值法模型明确、简单，能准确将负载相关项包含入 3实验结果分析 动力学模型中，进行参数辨识.但计算量大，步骤繁 琐，辨识的误差达3.3%；力矩求解法是基于控制系统 实验对象为六自由度工业机器人，其连杆参数如 高效的条件下，直接运用力矩传感器反馈回来的值进 表2所示. 行计算，避免了理论计算力矩所产生的误差，计算量 表2六自由度机器人名义运动学参数 少，提高了运算速度，辨识误差降到1.1%：为使辨识 Table 2 Nominal kinematics parameters for the 6-OF robot 工作准确快捷，直接运用全局参数辨识法，使机器运算 连杆转角， 连杆长度，连杆偏距，关节角度， 时间从6min降至3min,有效避免了累次计算产生的 a-1/(） ai-1 累积误差，辨识质量误差达0.33%，相比之下是比较 0 0 0 1 科学的 2 -90 0 0 02-90° 运用全局参数辨识法对负载进行动力学参数辨识 3 0 0.25 0 03 实验过程中，需分次进行数据采样，即在零负载条件 4 -90 0 0.25 下，用最优激励轨迹对机器人进行数据采集；在负载条 5 -90 0 0 Bs 件下，用同样轨迹对机器人进行数据采集，拟用加权最 6 -90 0 0 66 小二乘法计算式(21)，得到表4的实验结果 表4全局参数辨识法辨识结果表 Table 4 Identification result using global identification of payload parameters method 1.5kg 3kg 辨识项目 CAD 全局参数辨识 误差，8/% CAD 全局参数辨识 误差，6/% Llodyy 0.01420 0.02022 双 0.03780 0.03323 令 loadke 0.09397 0.12211 29.8 0.10857 0.19371 90 LoudeLoabyy 0 -0.00229 0.22 0 -0.00521 0.52 Liodsy 0 9.0×10-6 0.001 0 3.1×10-6 0.0003 Lyake 0 -0.00029 0.286 0 -0.00044 0.04 Luadys 0 0.00034 0.34 0 0.00014 0.14 Lloks 0.001 0.00128 20 0.003 0.00203 0.2 Loadke 0 6.14×10-5 0.00614 0 2.16×10-6 0.0002 0 -0.00078 0.78 0.01 2.49×10-5 0.0024

张 铁等: 机器人负载的动力学参数辨识 分别使 τ = τT 和 τ = τWL，用式( 17) 进行参数辨识． 辨识方程为 χLoad = ( WLoad ) + ( τT － τWL ) ， ( 20) W + Load = ( WT LoadWLoad ) － 1WT Load ． ( 21) 式中，WLoad为负载相关的观测矩阵． 2. 2. 3 全局参数辨识法 全局参数辨识法是用零负载的辨识方程式与含负 载的辨识方程式重组成辨识模型，利用加权最小二乘 法求解得到辨识参数． 此方法可有效避免了按序列辨 识方法所产生的累积误差． 辨识方程为 τWL τ [ ] T = WLink 0 [ WLink W ] Load χ [ χ ] Load ． ( 22) τWL = WLinkχ， τT = WLinkχ + WLoadχLoad { ． ( 23) 采用此方法时，有、无负载情况下需用两种不同的 激励轨迹进行，最后将上述矩阵( 22) 用加权最小二乘 法求解，解出所需的机器人基础动力学参数以及负载 的动力学参数． 3 实验结果分析 实验对象为六自由度工业机器人，其连杆参数如 表 2 所示． 表 2 六自由度机器人名义运动学参数 Table 2 Nominal kinematics parameters for the 6-DOF robot i 连杆转角， i － 1 /( °) 连杆长度， ai － 1 连杆偏距， di 关节角度， θi 1 0 0 0 θ1 2 － 90 0 0 θ2 － 90° 3 0 0. 25 0 θ3 4 － 90 0 0. 25 θ4 5 － 90 0 0 θ5 6 － 90 0 0 θ6 加工 1. 5 kg 与 3 kg 零件作为机器人负载，以动力 学参数差值法、力矩求解法、全局参数辨识法为理论依 据依次展开实验． 用最优的激励轨迹进行实时数据采 样，将采样数据经过处理，利用加权最小二乘法计算动 力学参数，可得表 3 的实验结果． 表 3 辨识负载质量结果分析表 Table 3 Analysis of identification result for payload quality 方法 1. 5 kg 负载 3 kg 负载 实验辨识结果 误差/% 实验辨识结果 误差/% 参数差值法 1. 450 3. 30 2. 964 1. 20 力矩求解法 1. 483 1. 10 2. 960 1. 33 全局辨识法 1. 498 0. 12 3. 009 0. 33 由表 3 可知，在同样最优激励轨迹实验条件下，利 用上述 3 种方法分别进行 1. 5 kg 负载辨识时，辨识结 果误差最小为 0. 12% ，最大为 3. 3% ; 进行 3 kg 辨识 时，辨识结果误差最小为 0. 33% ，最大为 1. 33% ． 从实验结果得出，参数差值法、力矩求解法、全局 辨识法用作本实验平台的负载辨识方法较为理想． 参 数差值法模型明确、简单，能准确将负载相关项包含入 动力学模型中，进行参数辨识． 但计算量大，步骤繁 琐，辨识的误差达 3. 3% ; 力矩求解法是基于控制系统 高效的条件下，直接运用力矩传感器反馈回来的值进 行计算，避免了理论计算力矩所产生的误差，计算量 少，提高了运算速度，辨识误差降到 1. 1% ; 为使辨识 工作准确快捷，直接运用全局参数辨识法，使机器运算 时间从 6 min 降至 3 min，有效避免了累次计算产生的 累积误差，辨识质量误差达 0. 33% ，相比之下是比较 科学的． 运用全局参数辨识法对负载进行动力学参数辨识 实验过程中，需分次进行数据采样，即在零负载条件 下，用最优激励轨迹对机器人进行数据采集; 在负载条 件下，用同样轨迹对机器人进行数据采集，拟用加权最 小二乘法计算式( 21) ，得到表 4 的实验结果． 表 4 全局参数辨识法辨识结果表 Table 4 Identification result using global identification of payload parameters method 辨识项目 1. 5 kg 3 kg CAD 全局参数辨识 误差，δ /% CAD 全局参数辨识 误差，δ /% Lloadyy 0. 01420 0. 02022 42 0. 03780 0. 03323 12 lloadz 0. 09397 0. 12211 29. 8 0. 10857 0. 19371 90 Lloadxx － Lloadyy 0 － 0. 00229 0. 22 0 － 0. 00521 0. 52 Lloadxy 0 9. 0 × 10 － 6 0. 001 0 3. 1 × 10 － 6 0. 0003 Lloadxz 0 － 0. 00029 0. 286 0 － 0. 00044 0. 04 Lloadyz 0 0. 00034 0. 34 0 0. 00014 0. 14 Lloadzz 0. 001 0. 00128 20 0. 003 0. 00203 0. 2 lloadx 0 6. 14 × 10 － 5 0. 00614 0 2. 16 × 10 － 6 0. 0002 lloady 0 － 0. 00078 0. 78 0. 01 2. 49 × 10 － 5 0. 0024 · 1191 ·