经济数学基础 第7章定积分的应用 第7章积分的应用典型例题与综合练习 一、典型例题 1、积分的几何应用 例1已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为√x,且曲线过(.1)点,试 求该曲线的方程 2 +c=4√x+c F'(x) F(x)=∫ x 解:由 再由曲线过(,1)点得C=-3.所求曲线方程为y=4x-3 例2求由曲线y=x和直线y=x+2所围成的平面图形的面积 解:y=x与y=x+2的交点为(一,)和(2,4), 在区间(-1,2)上有 >x 故所求平面图形的面积为 S=[2(x+2-xx=(x2+2x-x2)9 例3求由曲线y=√x-1与x轴及直线x=0,x=4所围成的平面图形的 面积 解:y=√x-1与x轴的交点为(1,0),在区间(0,)上有√x-1<0 210—
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——210—— 第7章积分的应用典型例题与综合练习 一、典型例题 1、积分的几何应用 例 1 已知曲线 y = F(x) 在任一点 x 处的切线斜率为 x 2 ，且曲线过 (1, 1) 点，试 求该曲线的方程． 解：由 x F x 2 ( ) = ，得 x x x x F x d 2 d 2 ( ) 2 1 − = = x + c = x + c − + = − + 4 1 2 1 2 1 2 1 再由曲线过 (1, 1) 点得 c = −3 ．所求曲线方程为 y = 4 x − 3 例 2 求由曲线 2 y = x 和直线 y = x + 2 所围成的平面图形的面积． 解： 2 y = x 与 y = x + 2 的交点为 (−1, 1) 和 (2, 4) ， 在区间 (−1, 2) 上有 2 x + 2 x 故所求平面图形的面积为 2 9 ) 3 1 2 2 1 ( 2 )d ( 2 1 2 3 2 1 2 = + − = + − = − − S x x x x x x 例 3 求由曲线 y = x −1 与 x 轴及直线 x = 0, x = 4 所围成的平面图形的 面积． 解： y = x −1 与 x 轴的交点为 (1, 0) ，在区间 (0, 1) 上有 x −1 0
经济数学基础 第7章定积分的应用 在区间(,4)上有√x-1>0 故所求平面图形的面积为 2 S=(1-√x)dx+( )+(x2-x)=2 2.积分在经济分析中的应用 例1某产品边际成本为C(q)=3+q(万元/百台),边际收入为R(q)=12-g (万元/百台),固定成本为5(万元),求利润函数L(q) 解: C(a)=c()dq=(3+)dq=3q+g+c [方法1 将C(O)=5代入上式得C=5,即有 C(q)=3q++5 R()=R(q)dq=(12-q)dq=1 q 将(O)=0代入上式得c=0,即有 R(q)=12 由此得 q)=R(q)-Cq)=12q-9-(3+2+=9-q2-5 方法2 C(a)=c(q)dq+Co=(+qdq+5 R(q)=R(q=J02-ky=1、g3 211
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——211—— 在区间 (1, 4) 上有 x −1 0 故所求平面图形的面积为 ) 2 3 2 ) ( 3 2 (1 )d ( 1)d ( 4 1 2 3 1 0 2 3 4 1 1 0 = − + − = − + − = S x x x x x x x x 2.积分在经济分析中的应用 例 1 某产品边际成本为 C(q) = 3 + q （万元／百台），边际收入为 R(q) = 12 − q （万元／百台），固定成本为 5（万元），求利润函数 L(q) ． 解： [方法 1] c q C q = C q q = + q q = q + + 2 ( ) ( )d (3 )d 3 2 将 C(0) = 5 代入上式得 c = 5 ，即有 5 2 ( ) 3 2 = + + q C q q c q R q = R q q = − q q = q − + 2 ( ) ( )d (12 )d 12 2 将 R(0) = 0 代入上式得 c = 0 ，即有 2 ( ) 12 2 q R q = q − 由此得 5) 2 (3 2 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 = − = − − + + q q q L q R q C q q 9 5 2 = q − q − [方法 2] 5 2 ( ) ( )d (3 )d 5 3 2 0 0 0 = + = + + = + + q C q C q q c q q q q q 2 ( ) ( )d (12 )d 12 2 0 0 q R q R q q q q q q q = = − = −
经济数学基础 第7章定积分的应用 L(q)=R(q)-C(q)=12q (3q 由此得 20=9q-q2-5 C"(q)= 例2已知某商品的边际成本为 2(万元/台),固定成本为10 万元,又已知该商品的销售收入函数为R(q)=100(万元),求(1)使利润 最大的销售量和最大利润;(2)在获得最大利润的销售量的基础上,再销售 20台,利润将减少多少 q dq+10 q 解:(1) C(a)=oc(a)dq+co=J 2 L(q)=R(q)-C(q)=100q 10L(q)=100-7 令1(q)=0解得q=200.由于极值点唯一,可知9=200为最大值点,即销售 L(200=100q-2-10 9990 量为200台时,总利润最大.最大利润为 (2) M=L(220)-L(200=9890-9990=-100 即在获得最大利润的销售量基础上,再销售20台,利润将减少100万元 例3假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由 y=x(x+1),(x∈[0,1) 表示,试求该国的基尼系数 x2(x+1) (x+x 解:因为 212
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——212—— 由此得 5) 2 (3 2 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 = − = − − + + q q q L q R q C q q 9 5 2 = q − q − 例 2 已知某商品的边际成本为 2 ( ) q C q = （万元／台），固定成本为 10 万元，又已知该商品的销售收入函数为 R(q) = 100q （万元），求(1)使利润 最大的销售量和最大利润；(2)在获得最大利润的销售量的基础上，再销售 20 台，利润将减少多少？ 解：(1) 10 4 d 10 2 ( ) ( )d 2 0 0 = + 0 = + = + q q q C q C q q c q q 10 4 ( ) ( ) ( ) 100 2 = − = − − q L q R q C q q ， 2 ( ) 100 q L q = − 令 L(q) = 0 解得 q = 200 ．由于极值点唯一，可知 q = 200 为最大值点，即销售 量为 200 台时，总利润最大．最大利润为 10 9990 4 (200) 100 200 2 = − − = q= q L q (2) L = L(220) − L(200) = 9890 − 9990 = −100 即在获得最大利润的销售量基础上，再销售 20 台，利润将减少 100 万元． 例 3 假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由 ( 1), ( [0, 1] ) 2 1 2 y = x x + x 表示，试求该国的基尼系数． 解：因为 + = + 1 0 3 2 1 0 2 ( )d 2 1 ( 1)d 2 1 x x x x x x
经济数学基础 第7章定积分的应用 ==(x+=x)=-(+=)= 所以基尼系数为724 3微分方程 y 例1求微分方程 e的通解 解:整理原方程得(3y2+e)y= cos xdx 两端积分j3y2+y-Jesx 得原方程的通解为y+e=smx+c 例2求初值问题 y+ysnx20y(x)=1的解 解:方程为一阶线性微分方程 y+ P(x)y=o(x) sIn x P(x)=-,Q(x)= 其中 x,两端乘以积分因子ex,即x 得 上式两端积分得 sin xdx=-cosx+c -coS x+c y 由此得原方程的通解为 丌-cosx-1 将y(x)=1代入上式得C=x-1,由此得初值问题的解为 213
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——213—— 24 7 ) 3 1 4 1 ( 2 1 ) 3 1 4 1 ( 2 1 1 0 4 3 = x + x = + = 所以基尼系数为 7/24. 3.微分方程 例 1 求微分方程 y y x y 3 e cos 2 + = 的通解． 解：整理原方程得 y y x x y (3 e )d cos d 2 + = 两端积分 y + y = x x y (3 e )d cos d 2 得原方程的通解为 y x c y + e = sin + 3 例 2 求初值问题 0 sin + − = x x x y y ， y( ) = 1 的解． 解：方程为一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 其中 x x Q x x P x sin , ( ) 1 ( ) = = ，两端乘以积分因子 P( x)d x e ，即 x ， 得 (xy) = sin x 上式两端积分得 xy = x x = − x + c sin d cos 由此得原方程的通解为 x x c y − + = cos 将 y( ) = 1 代入上式得 c = −1 ，由此得初值问题的解为 x x y − cos −1 =
经济数学基础 第7章定积分的应用 4+002g+300 q.16g-002q2-300 x dx 二、典型例题 1.填空题 2.已知曲线y=f(x)在点x处切线的斜率为2x,且曲线过(1.0)点,则该曲 线方程为 3.已知某产品产量为9件时的边际成本C(q)=4+004g,固定成本为300元,那 么平均成本函数C(q)=,若销售单价为20元,则利润函数(q)= 4.由直线y=x-2,x=1,y=0围成的平面图形面积,用定积分表示为 5.微分方程y+(y)5mx=e”的阶数是 4+0.02q+ 16g-002q2-300 (2-x)dx 1.0:2.x2-1;3 2.单选题 1.下列不等式成立的是() 2 sin xdx>2 cos xdx 2 sin xdx>2 sin xdx (A)J0 214
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——214—— 1．0； 2．x 2－1； 3． q q 300 4 + 0.02 + ，16 0.02 300 2 q − q − 4． − − 2 1 (2 x)dx ； 5．3 二、典型例题 1.填空题 1． = + − 1 1 2 d 1 x x x ． 2．已知曲线 y = f (x) 在点 x 处切线的斜率为 2x ，且曲线过 (1, 0) 点，则该曲 线方程为 ． 3．已知某产品产量为 q 件时的边际成本 C(q) = 4 + 0.04q ，固定成本为 300 元，那 么平均成本函数 C(q) = ，若销售单价为 20 元，则利润函数 L(q) = ． 4．由直线 y = x − 2, x = −1, y = 0 围成的平面图形面积，用定积分表示为 ． 5．微分方程 x y y y x + + ( ) sin = e (3) 4 的阶数是 ． 1．0；2．x2－1；3． q q 300 4 + 0.02 + ，16 0.02 300 2 q − q − ；4． − − 2 1 (2 x)dx ；5．3 2.单选题 1．下列不等式成立的是（ ）． (A) 2 0 2 0 sin d cos d x x x x ；(B) 2 0 2 0 2 sin d sin d x x x x