5)mk=max(u) 1<i< (6)if <E或 (1+m)< 8 then输 出mk2v(i=12,…,n),停止计算; (7)mb=m;k=k+1返回第3步
5) max( ); 1 i i n mk u = (6) if − mk m0 或 − (1+ ) mk m0 mk then 输 出m ,v (i 1,2, ,n), k i = 停止计算； (7) ; 1; m0 = mk k = k + 返回第 3 步
例71.1试用幂法求矩阵 73-2 2-13 按模最大的特征值和相应的特征向量(E=103)。 解由算法7.1.1得计算结果如表71.1所示
例 7.1.1 试用幂法求矩阵 = - 2 -1 3 3 4 -1 7 3 - 2 A 按模最大的特征值和相应的特征向量( 10 ) −5 = 。 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示
表711例71.计算结果 k mk 0|1.000000,1.000000,1.000001.000000,1.00000,1.0000001000000 18.000000,6.000000,0.0000001.000000,0.750000,0.0000008.000000 29.25000060000027500001000,0.648649,-0,2972979.250000 39.540541,5891892,-354054110000.617564,-0.3711059.540541 49.594901,5841360,-3.7308781.0000,0608798,-0.3888409.594901 596040745824033-3.7753171.0000,0606413,40.3930959604074 696054295818746,-3.7856991.00000,0.605777,-0.3941219605429 79.605572,5817228-37813910000060577,-0.3943699.605572 89.605567.5816808,-3.7887171.0000.605566,-0.3944299.605567
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k u (k) v (k) mk 0 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 1.000 000，1.000 000，1.000 000 1.000 000 1 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 1.000 000，0.750 000，0.000 000 8.000 000 2 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 1.000 000，0.648 649，-0.297 297 9.250 000 3 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 1.000 000，0.617 564，-0.371 105 9.540 541 4 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 1.000 000，0.608 798，-0.388 840 9.594 901 5 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 1.000 000，0.606 413，-0.393 095 9.604 074 6 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 1.000 000，0.605 777，-0.394 121 9.605 429 7 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 1.000 000，0.605 777，-0.394 369 9.605 572 8 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 1.000 000，0.605 566，-0.394 429 9.605 567
由表711知,mn3-m<103,故取4≈m2=9605567, 相应特征向量为x1≈y83=(0005160.374429)。 本题精确值λ1=960555127…
由表 7.1.1 知， 5 8 8 10− m − m ，故取1 m8 = 9.605567， 相应特征向量为 T x v (1.000000,0.605566, 0.374429) (8) 1 = − 。 本题精确值 1 = 9.60555127
对于矩阵A按模最大的特征值还可能有多种情况,这是对幂法做适当 修正,仍可求出结果 设矩阵A的按模最大特征值是互为相反的实根,即>0.,2=-41,且 H2A3…2石n|,由式(7.14)知 n(=2(x+(-1)a2x2+∑a(")x](71.7 于是 (k+2) 41x+(-)a2x2+22)x lin k k→∞ 和[ax+(-1)a2x2+∑(")x
对于矩阵 A 按模最大的特征值还可能有多种情况，这是对幂法做适当 修正，仍可求出结果。 设矩阵 A 的按模最大特征值是互为相反的实根，即 1 2 1 0, = − ，且 | | | | | | ... | | 1 = 2 3 n ，由式（7.1.4）知 [ ( 1) ( ) ] (7.1.7) 3 1 1 1 1 2 2 ( ) = = + − + n i i k k k i i k u x x x 于是 2 1 3 1 2 2 k 1 1 1 2 3 1 2 2 k 2 1 1 2 1 ( ) ( 2) [ ( 1) ( ) ] [ ( 1) ( ) ] lim lim = + − + + − + = = + = + + → + → i j k n i i i k i j k n i i i k k k j k j k x x x x x x u u