§9.2屏蔽库仑势和电离杂质散射 在§42中我们对电离杂质散射己经进行过初步讨论.在这 节中我们进一步考虑自山载流子的屏蔽作州 屏蔽库仑势 在§4.2中曾经指出,晶体中的自由载流了对电离杂质屮心 有屏蔽作用.在没有任何附加势的晶体中,自由载流子是均匀分 布的.电离中心的电荷引起的附加势使载流子在荷电中心附近偏 离该均匀分布.对于n型导电的情形,电千在荷电的电离施主 附近有较低的势能,因此有较高的浓度.如果离电离中心很远处 载流子浓度为n,则在中心附近有 Rn已 (9-2-1 V(r)为中心引起的附加势.由之引起的附加电荷密度为 elr(r)--20]=-enole k,i (92-9) 第…步考虑到在屏蔽效应较为重要的范围内有|eⅣ水kT,因而 有exp(e/k)≌1eV/k 求解球对称泊松方程: [rV(r) p(r) (9-2-3 代入式(9-2-2)的p,整理后可得 d-lrv(r)]eRo[rI(r)] irv(r)] (9-2-4) 式中L为德拜长度,即( eost/e2n)1,上式的解为 v(r)=Ae (9-2-5) 502
在→>0时,(r)应趋「库仑势-ze/4xe.因此可得以下屏蔽 库仑势 Z seear 由于因子et,在》LD时电离中心的库仑势基本上被屏菠. 述屏蔽库仑势又称为汤川势.对于ε=16,T=100K,no=1016 cm-3,可得LD=280A,大致等于离子平均间距的半.但当穀= 108cm-时,Lp约为28A,只有平均离子间距的1/4左右 傅里叶系数 求得屏蔽库仑势,只要求得它的傅里叶系数即可得到矩阵元 M*k(式(9-1-8).由式(9-1-18)可得 V(re-1q*dxc (9-2-7) 令 q (9-28) Xia (9-2-9) 并将d￥换为r2 single'dq'r,得 V(r)rdrl dop p(- tacos0)sin′d6e -4t V(r)r V(r)r s】n dr (92-10) 在下面的讨论中假设电离杂质之间的间距足够大,且为无规则分 布,因此各中心可以看作彼此弧立.假设在华积矿中只有一个电 离中心,代入式(9-26)的V(?)可得 503
Z singer eEof D 1 vee q2+·L 与普通库仑势的傅里叶系数·Ze2/veoq2(可由令上式中L→2 得到)相比,增加了-个系数q3/(2iL。-2).载流子的屏蔽作用 对于其它散射势的傅里叶系数的影响与此相似 Ehrenreich讨论了载流子对极性光学波散射势的屏蔽[),这 种影响也可归结为乘以因子q2/(q2L2) 弛豫时间和迂移率 由式(4-A2-16),代入式(9-1-12)的W(k,k'),可求得微分散 射几率P(∈,6)为 P(s,0)=7×M41260,-)k"以 2丌 方 4k'k!2g(∈) Fmk (2x)2t H, 这里g(∈)代表单位体积态密度我们注意到,散射几率正比于与 电子能量对应的态密度(不计入两种自旋).在非弹性散射情形下, 容易看出这里应是终态态密度,即g(e)应9(∈士Aa代替.以 式(9-2-11)的A(q)代替Mkk可以得到 Mxs=v2k一kD)x 72e (9-2-13) ·(2Ln) 504
第二步利用了一k!:2ksin(0/2),由式(4-A2-17)可得 P(∈,0)(1-cose)d Vm l (2x)1M2k12(1-co0)d 代人式(9-2-13)的!Mxk}2,经积分后可得 8(edom) (1+2)-B2/(1+B2) 这里"为载流了的速度,在得到上式时我们用1/N1代替了V,因 为前面假设了在体积中只有一个电离中心.上式中的B为 B==2ALo (9-2-16) 若略去的影响,仍有τ∞312.当电子浓度增大时,f具有较小 的值,这将导至式(9-2-15)中含β的因子增大.这正反映了载流 子的屏蔽作用 将式(9-2-15)的代入式(4-3-24非简并情形(r)的表示式 以使该式被积函数具有最大值的∈值εk=3kT代楼日中的e(将 面换为E),可得H=e(x/m为 27(2x)4/2(eo)2(kaT)3 1n(1+B2)-P2/(1+P 9-2-17 上式称为 Brooks- Herring.公式,写作实用的形式为 =4.74×103 2(①NmX2)(mk)(m) cm2/V·s] (9-2-18) (I+B2) 1P2 其中 B"2=1.510(mnY1017/cm X0) (9-2-19 式(9-2-17)的迁移率和载流子浓度的关系与 Conwell- Weisskopf
射处理[3](参看§4.2)相比,在占载流子浓度F后者偏低.对于 n型GaAs,在直到101/cm3的浓度范围内,电子迁移率的实验结 果仍可用 Brooks- Herring的理论[]说明(图9.1),但需计入简 并统计等 8000 GaAs30CK 6000 200 Nb=8×t01 NE+NA-10 n(cm 图91室温下GaAs的电子迁移率随电子浓度的变化,实线为对 不同的(N+NA)比值由针算得到的 在高载流子浓度下能带的非抛物性带来的影响可以是显蓉 的.非抛物性通常可导至终态态密度和动量有效质量”的增加,从 而使散射增强.屏蔽长度也会有所不同.波函数的形式也与抛物 性带有所不同.图9.2给出了4.2K下n-InSb的实验结果与理 论计算的比较[0虚线为假设抛物性带的计算结果.关于非抛物性 带的实线计入了非抛物性对态密度和动量有效质量的影响.由于 高载流子浓度相应于强筒并情形,此结果与室温下的相差并不显 著,只是在较高温度下声学波散射的影响有所增强迁移率随温度 对子具有球形等能面的带,动量有效质量定义为1/m=(1/h)dE,容易 证明速腱和动量有效质量m及准动量之间满足m=h,因此,在输运现象中 动量有效质量应是基本量 506·