2-3無阻尼之自由振動15 )存在。 運動方程式 上逸三種模型,在受動力荷重作用下,考慮其動力干衡條件( condi tions of dy namic equilib ium)所推導}之微分(控制)方程式(題目2.1)。 對應於此三種模型之微分方程式閤: 风B+k=P() (22a) pB+k0=Q(t) 其中位移坐標,υ,θ及荷重囪數乃相對於起始系統X,￥,z。 由拉卜拉氏轉換得到這些方程式之積分( integrals of these equations)各露 y s Na cos fo.t + sin in [ w,(t-r)P, (r)dt (2-1b) D= Vo cos w,t f sin [ o,(t- TP,r)dr (2-2b) o),in wgt sin [d(t -TIQ(T)d (2-3) Ik 其中 爵自然阍周烦率( natura! circular∫ re quencies)蛀。,υ,B。及ⅸ。,讠。,〃。,静 爲起始條件( initial conditions),各爲在t=0時之位移及速度(題目2,2) 由道些方程式(2-1b,2b,3b)來定義各模型之運動即露運勳方星式( equations notion)。其三角函數及起始偵稱雋开線函數〔 shape functions),而包含荷重 函数之褶積則稱駑特另函數( particu]ar. f unctions)。 2-3無阻尼之自由振動 運動方程式 當荷重函數等於客,而運動完全由翹始值所引耙時,此類邏動謂之自由振動( free vibrat ion)(蔺諧運勳,諧和振動〉。由於虎克模型〔圖2-1,2-2,2-3) 之自由振動方程式乃是將一般性積分(2-1b,2b,3b)中之特刎函數去掉,因此其解 可以符號表之如下
76第二章單自由度系觥 A 曲(a)曲根( 其中Δ露 或,而焉 自由振動上時間位移曲糨可由(2-4)式中之曲線(a與((2-4(),())疊加 而得,或由(2-4)式粑過修正後之式子,亦即 4 =Ra cos(at- Δ=R△sin(at+B) (2-5a,b) 其中振動時之自然振幅( natural amplitude)烏 Ra (4d)2+(aa)2 (26 凡代表在aat軸上詰和曲鰾之平移{ shift of harmonic curve)之相位角( phase les)1 且 B 至於(2-5)式至(2-7)式之圖示則請見2-4(),而其牦及應用見題H2.3到2.6。 特例 若起始傾有一個慫客,上式之運動匾形則可减化駑曲糗或曲(且 各如岡2-4(和(所示 運動之數 上面所討諦之自由振動稱爲諧和( harmonic)振勳,即振動位栘隨時間做正弦函 數地變化且經過一特定週期峙距後,振勳位栘大小形狀不斷重複。此一運勳之參數定 義如下。 (a自然振幅( naturaI ampli tude)R堆積質量之最大位移〔距衡位),見
2-3無阻尼之自由振動77 b}自然週期〔 natural period)T爲完成一图所需之時閒·經過此一時間後振動重 视闹始 曲幕b) R 曲(a)+曲额b) 2-4位移曲粮-無阻尼自由振
B第二章單自由度采毓 其中為(2-1b,2b,3b)式中之自然圆周频率( natural circular frequen )自然频率〔 natural frequency)f單位時間之完成圈數,螂 (2-F0) 由前面粘果之豇宪知 !)自然操幅( naturai amplitude)RA受質量及彈簧常敷之影饗,H與起始值柑 關 (2)自然週期( natur a} period)n和自然频率( natural frequency)f不受耙 始影響而僅與質锰及彈簧常數有關。 最後,各位要注薏相位角之和( sum of the phase angles)aa+Ra=x/2即露 Taws/ 2.4無阻尼受力振動 若在(2-1b,2b,3b)式中之荷重函數不駑冪且起始Δ。,Δ,籍睿或不霁, 此時之運動謂之受力振動! forced vibration),此時之圖形一獗而言爲l2-4中之曲 称(和由特别函數所定義之新曲兩者之疊加。 以符號表示,運動方程式(2-1b·2b,3b)式及其一階蓦數在此時各為 A=△ cos gat+ 2-I1) 其中中舄特剜卤數之一階數。 這些函數之典型例子及圖示見題目2.9。 力函數 因荷重图數(力函數)可以各種形式出現,其分類非常困難,大體上可分篇以下 幾類 (1)常數或單調遞增之非週期性逴續荷重函數( constant or monot oni cally in creasing nonper iodic continuous load functions)如表P-2.31中之矩形 三角形及指數脈衝荷重均是。 (2)單調遞减之非週期性達續荷重函數( mon otoni cally decreasing no nper iodic
2-5動力傅送知陣I9 ont inuous ! oad functions)如表P-2.32中之三角形和指数胀衝荷重均是 (3)對稱苻重函數( symnet rical load func tions)如P-2.33中之三角形,正 及餘弦脈衙荷重均是 )週期荷重函數( periodic load functions)如妻P-2.34中之矩形.正及餘 恢脤衝荷均是。 複合荷重函數( composite load functions),翥前幾種荷重凶數之租合 (6)不規則荷重函數( irre gular load funct ions),其時鲢異之情形常由現 場記錄所得之歷程圖或是經由铳計而得。 計算方法 對於印1)至(4類其褶積ψ之正唯形式計算( closed form evaluation)是存在且 可行的,如在表P-2.31到P-2.34中的1)至(4),及題目2.9和2.10所示。 對於馥合何重函數其心之正確形式是在但却不可行。在此時傳送矩陣法 transport matrix method)一簡便之計箅工具 最後,對於不規則之何重函數,其φ之正確形式計算不叮得而必須利用近似法 其中在計算φ時常用二法·亦即傅立葉級數法( Fourier serics method)和逐步數 值法( numerical step-by- step metho)。有關此二法之蘸用,如题目2.12和213 所示 2-5動力傳送矩陣 觀念 應用在髹性或非線性銛構靜力分析上之傅送矩陣法( trans port! matrix me thod 鳥動力分析之打力工具。在無阻尼自由或受力振動之單由度系铳之動力分析應用 此法時·首先將荷熏函數w()之時閒軸相應於荷重囪數肜狀技巧性地分成數段時距 然後各别求各時距之勳力傅送矩陣。 對時距i,=1,-t,而言,由(2-11)式所娌立之動力傳送矩陣方程式( dynamic transport matrix equation )6 cos of, sin cot (2-2) -sin wf cos lg T