20第二章日山度系统 其中身各在j,i處之無因次狀態向量( dime nsionless state vectors),t 六焉在時距t之時闢傳送矩牌( t ime trans port matrix),其傈数在粉定時中 暠常數。了簡便耙見,足標Δ(出現在前面之吣和φ中)省略,但由(2-11)式 所建立之(2-12)式對虎克模型之,種形式仍然成立。 類冋於靜力傳迭矩陣,動力傳迭矩陣能夠於所選之時距內對此模型之動丿性 質做一個痄常淸楚,系兢化且完全之記錄。其中此矩暉與模型·時距及所耠之荷重 兩數有關而舆末狀態無關(題日2.14)。 傳送鏈 且振動系椃於某個時距之動力傳送方程式的…一般形式可求得,則整俏桑兢之連 動過稆即可經由矩陣乘法( matrix multiplicate ion)來推廣求得。 以圖2-5中荷重函數駑例,如果諼凼數於at軸被分篇四個時距wtt=At·k A,aI=A、at、。=A。,此時各時間站l,k,j,i之狀態向量分别烏 =丘=i闰=B=1,B (2-13) 自由摄動 殳力振動 r于 a重程 0 cos Ag sin A‖l -sint Ay cos -in Aw cos 4, -sin A, 0 ess.. i de b傳送矩陣鏈 ■2-5在l0區閥之虎克糢职
2-6卡耳明模型27 其中佰爲常敷之矩陣仁章,囂各時距之傳荙矩陣,其傾由(2-12)式可得。 最後糨由連續代λ運算,我們可得 示=丘。 A=iinA。=fo (2-14) 在上式中矩陣T是在每一矩陣方程式糨過乘運算後所得到的新矩陣,由於靳矩陣乃 由鏈乘積而得,故名駑傳送矩牌鏈( transport matrix chain)(題日2-l5) 傳送法 止傳送矩牌鰱( transport matrix chain)仍代友桑铳於特定時距t之特性面 與起始及末狀况無∶。此鏈將一侧狀態向量由一個時站( time station)θ傳送到另 時站l且其可包含有任何數目之次時距 因其有回歸性( recurrent nature),閃此缚法一般而π懣於電腦數偭計算 2-6卡耳明模型 物理上之特徵 萁次輕常使用之機械模型鸑卡耳明樸型( Kelvin mσde),餒模型包含一個繫有 根蟬簧及阻尼器之堆秽質量。阻尼器之功用在於模擬運動時之阻力。此模型仍露單 自由度杀統( single degree freedom systerm),只允許堆質量址著或藕著某一軸 做小位移之還動。 如2.2節所霄,眈模型可有下列三種可能之運動型熊 (1)縱向運動模型( longitudina! mo on model)(2-6),允許質量延X軸 有小毅性位移a,系航由質量,称性弹簧常數k、,额性阻尼常數c及荷重 雨数P(4)所定義 (2)横向運動摈型( Transverse motion mode)(闌2-7),允許質量娅Y軸有 小镲性位栘υ,采铳由質量μ,線性彈黃常數k。,鬏性阻尼常數c,及荷重囪 數P(t)所定義 (3)角運動摸型( angular mot ion model)(屙2-8),允許質量對z軸有小角位 移0,采由慣性質矩P,角辉簧常數k,角阻尼常数ca及荷重数Q,(t) 所定義
22第二章單且由度钪 運動方程式 遽三種模型(聞2-6,2-7,2-8),在受動力荷重下,书慮其動力平衡條件 condition of dynamic equi!ibr ilr)所推導出之微分(控制)方猖式各鳶(題 4+ 2y, 4+oin =(1/u)P,(r 5+2y6+ol=(l)P() (2-15) yeθ+ω6=l|p)Q() 其中 2 Hμ,2y-=cJ,2 =kμ,如2=k 冋在〔2-1a,2a,3a)式中,位移坐標“,υ,θ在這些方程式中仍參考於起始系 铳X,Y,Z,而荷重函數也參考於此一朵飩。 2-6樅向運動 ■2-7橫间運動 2-8角運動 由拉卜拉氏轉换法所得之方程式分( integrals of these equat ion)親c和k 之關倸而有三種忭同形式。因此三解有艱似之結構,叮以Δ,%,λμ及W4()來麦 示,其中△x·或0,%路y%或%A阁AA或k或A而w() P(,P(),或Q() (a)低阻尼運動,ya<如,A=Vwz-y △=e"( Ao cos A,. b+% sinλ,) uaAs e ya(-rl sin fA(t-T)IWa(r)dr (2-16a ()臨界阻尼動,ya=如2,A=0:
4-7有阻屁育由勳23 △=e△+a)+4a]+t-nv"w(ndr (2-l6b) )遇阻尼逞動,v>2,A4=√y-5 △=ea(△ so cosh A3t+当 Ya-2 sinh A2t)+ sinh [A(t-t) w,(r dt 在此停方程式中,Δ。和Δ。仍稱烏系兢於=0時之位移、 displ aceme nts)和 速度( velocities)的耙始條件·(題∏2.17,2.l8,2.19)。方程式〔2.I6a,b, ε)式即運動方程式,其中有件隨始條件者稱爲形狀函數( shape functions) 而包含荷重卤數之褚積則稱特函數( particular functions 2·7有阻尼自由振動 運動方程式 问2.3節所詈,若在(2-15)式中之荷重函數等於客時,運動僅由赶始稙所產生 之運動謂之有阻尼自由振動( free vibration with dampi ng)。其運動方程式由 2.16a,b,c)式中合φ=0町得。 啊示 表示有阻尼门由振動之曲称(2-9),各相應於(2-16a,b,c)式在吗=0 時之解。如冋在無阻尼自由振動〔2-16a)式,可將之翕 4= RAsin(λat+B△)l (2-17.18) 其中襞振幅( variable ampli tude) Ra=Re vad=e"vaV(4o)+(4o+y4/A3 而代表在A輛上衰減和曲線之平移( shift of decaying harmonic curve)之相 位角〔 phase ang les)露 (220,2n 曲線代麦低阻尼運動,因此振遨運動之振輻大小随時間增加遞减,而各代表臨界阻 尼與過阻尼之曲鬏()和(則顯示出由於阻力之大而使得速動不再振,且振幅大小呈
24第二章自由度系 屬阻尼逕動,Y3>w b縮界阻尼漯動,v= 包路i (a派阻尼運動,y<山 包貉鞍 T 2-9有阻尼自由振動之位移曲额(△s=0) 指數衰减(井燜期運動)。臨界阻尼運動鷟“避期”運動之極限情形,在此情况下系 铳在最短時間内即呈靜止(題目2.19)。 運動参數 低阻屁自由振動( underdamped free vibration)之特性非諧和,非重複性, 在同一時距〔遇期)内具有遞減之振幅。此運動之多數如下所远 (a)振幅( ampli tude)R盘。露如下之邀减偭 A.。=R 其中R簋(2-19)式中之起始項,n=0,1,2 且T由(2-23)式所定 ⑩u週期〔 period)T連續兩振輪藺之常數時距而頻( fre quency)∫鳥週期 之倒數,各簋 2m!Aλ ∫=1T4=2x (223,24)