D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.01.015 第26卷第1期 北京科技大学学报 Vol.26 No.1 2004年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2004 控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解 廖福成”祖翠娥”郑连存》王自东)李为东” 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料学院，北京100083 摘要研究了一类关于浓度的三维稳态晶体生长控制方程，这类问题由于带有远场条件， 无法按常规方法给出其解析解或数值解，在复数域内利用分离变量法，得到了这类方程的级 数形式的解析解，而最后的解是实数形式.结果表明，固液界面前沿浓度是指数震荡衰减的， 关键词晶体生长；分离变量法；偏微分方程；Fourier级数 分类号TG111.4 长期以来许多物理学家、材料学家和数学家 2方程的求解 从不同角度来研究稳态下晶体生长过程中浓度 的控制问题，取得了很大进展).文献[6~9]在固 在复数域内采用分离变量法进行求解.设方 液界面引入界面波，利用摄动方法解熔体浓度的 程(1)有形如 控制方程，得到其二阶渐近解.文献[10]确立了 C(x,y,z)=p(x)u(y)w(z) (6) 二维稳态晶体生长过程中控制熔体浓度的模型 的解.将式(6)代入式(1)中，得 并得出其精确解.文献[11]用分离变量法重新解 D[p"(x)u(y)w(z)+p(x)u"(y)w(z)+p(x)u(y)w(2)H+ 得了二维模型的精确解.本文把文献[11刂的方法 vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)=0(7) 用于解三维晶体生长过程中控制熔体浓度方程， 即「p2g+v2g+Dg+vg p(x) p(x)u(y)uy) 求出其三角级数形式的精确解. 088 -Dw"(e) 这个式子左边是关于x,y的函数，右边是关于z的 1控制方程 函数，又x,y,z是三个相互独立的变量，因此要使 稳态下三维晶体生长的熔体浓度控制方程 上式对所有x,y,z都相等，只有它们恒等于某一 为： 个常数时才有可能.设 08股8+8}8股+-0ω 爱器88 u的0 =， 固液界面的边界条件为： Dw"p☒ w同w=名. C(x+21y,2)=C(xy,z) (2) 于是k+k+k=0,k,k点，飞是常数，从而偏微分方 C(x,y+21z)=C(x.y,z) (3) 程被分离成三个常微分方程 远场条件为： limC(xy,z)=0 (4) Dp"(x+vp'《x)-kpx)=0 (8) 初始条件为：C(xy,0)=fxy) (5) Du"(x)+v,u(y)-kzu(y)=0 (9) 其中，D是溶质扩散系数，C为溶质浓度，，和 Dw"(z)+v:w(z)-kjw(z)=0 (10) 分别为晶体沿x轴，y轴和z轴方向的生长速度， 将式(6)代入式(2)(4)得： fxy)是连续函数，而且满足f+2l)=fx), p(x+2=px,u0+2=y),1imw(a)=0. f(xy+2D)=f(xy). 因此，要求偏微分方程(1)的满足边界条件(2).(3) 收稿日期200303-28 福成男，48岁，教授 和远场条件()的变量分离形式的解，就要求解下 *国家重点基础研究规划项目No.G2000067206-1)和北京市 例问题， 科技新星计划资助课题No.954811800)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 】 控制熔体浓度三维稳定态方程 的精确解 廖福 成 ‘， 祖翠娥 ” 郑连存 ” 王 自东 ” 李为 东 ‘， 北 京科技 大学 应用 科学 学 院 ， 北 京 北 京科技大学材料学 院 ， 北京 摘 要 研究 了一类 关于浓度 的三 维稳 态 晶 体生 长控 制方程 这类 问题 由于 带有远场 条件 ， 无 法 按 常规方 法 给 出其解 析解 或数值解 在 复数域 内利用 分 离变量 法 ， 得 到 了这类方 程 的级 数形式 的解 析解 ， 而 最后 的解 是 实数形式 结果表 明 ， 固液界 面前沿浓度是指数 震 荡衰减 的 关键 词 晶体生 长 分 离变量 法 偏微分方程 级 数 分 类号 长 期 以来 许 多物 理 学 家 、 材 料 学 家 和 数 学 家 从 不 同角度 来研 究 稳 态 下 晶体 生 长 过 程 中浓 度 的控 制 问题 ， 取 得 了很 大进 展 一 文 献 一 在 固 液 界面 引入 界 面 波 ， 利用 摄 动 方法解熔 体浓度 的 控 制 方 程 ， 得 到 其 二 阶渐 近 解 文 献 【 确立 了 二 维 稳 态 晶体 生 长 过 程 中控 制 熔 体 浓 度 的模 型 并 得 出其 精 确解 文 献 【川 用 分 离变 量 法 重 新 解 得 了二 维模 型 的精确 解 本文 把 文 献 【川 的方 法 用 于解三 维 晶体 生 长过 程 中控 制熔 体 浓度 方 程 ， 求 出其 三 角 级 数 形 式 的精确 解 方 程 的求解 在 复 数域 内采用 分 离变量法进 行 求 解 设方 程 有 形 如 ，， 切 的解 将 式 代 入 式 中 ， 得 口 切 ’ ，切 妙 〕 十 ， 切 切 切 ， 切 ， 「丝竺贝 斗 、 ， 些红乏 一 切 ’ 切 控 制 方 程 稳 态 下 三 维 晶 体 生 长 的熔 体 浓 度 控 制 方 程 为 这 个 式 子 左 边 是 关 于， 的 函 数 ， 右 边 是 关 于 的 函 数 ， 又 ， ， 是 三 个 相 互 独 立 的变 量 ， 因此 要 使 上 式对 所 有 ， ， 都相 等 ， 只 有 它 们 恒 等 于 某 一 个 常 数 时才 有 可 能 设 · 带 一 ‘’ 一、 刀毛留 十 一 丸 ， 固液 界 面 的边 界 条 件 为 儿 妙习 尹 远 场 条件 为 初 始 条 件 为 今 少习 少力 少力 洪 二 必 其 中 ， 是 溶质 扩 散 系 数 ， 为溶 质浓 度 ， ， 巧 和 分 别 为 晶 体 沿 轴 ， 轴 和 轴 方 向 的 生 长 速 度 ， 刀方砂 是 连 续 函 数 ， 而 且 满 足依 户二月 工户 ， 尹 乃二 刃 收稿 日期 一 刁 廖福成 男 ， 岁 ， 教授 国家重 点基础 研究规 划项 目 一 和 北京市 科技新星 计划 资助课题 于 是么 棍 丸 ， 么 ， 棍 ， 棍 是 常 数 ， 从 而 偏 微 分 方 程 被 分 离成 三 个 常 微 分 方 程 ” 十甲，一 ，， 叨如 一 几 切 ” ， ， ，一 将 式 代 入 式 卜 得 乃一 ， 份 。 一 切 ， 煦 一 · 因此 ， 要 求偏微 分 方程 的满 足 边 界 条件 ， 和 远场条件 的变量 分 离形 式 的解 ， 就要 求解 下 例 问题 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．01．015
54 北京科技大学学 报 2004年第1期 Dp"x+vp《x)-kpx)=0 (11) 特征方程的根为 p(x+20=px) 1=- 和 六+a.tb-id=-六ta-bai [Du"(y)+v,u(x)-kzu(y)=0 71 +20=uy) (12) 其中，a-√atv 的非零解. b=sgn(nv,+mv,) V2-tv+5. 下面讨论问题式(11)的求解问题.方程（⑧）的 a=(mitw vi +4ǒ，b=mtmyx DP 特征方程为： 所以对固定n,m的方程(10)的通解是 4-=0， Wa(z)=cme+de 解得 因w()满足mw(=0,而且a一》0，所以c0, 六√凫品品√品 因此方程(10)的满足条件(4)的解是 因为px)是周期为21的周期函数，所以，和2不 w(z)=dct (15) 能任意取值.讨论如下： 这里d是常数.这样就得到方程(10)的满足条件 (①若=则有==一六，这时方程的两 的可数无穷多个解： 个线性无关的解e与xe均不是周期的，从而得 w(z广de,n,m=0,土l,t2,… 不到周期解.因此必须入+2. 将(13)，(14)，(15)代回(6)，就求得方程(1)的满足条 ()设≠2，这时方程的两个线性无关的解为 件(2)(3)，(4)的一系列变量分离形式的解. e“和，而且只有当，或2中至少一个是纯虚数 C.(xy,z)-p.(x)u.(y)w(z)= 时，方程才会有周期解，由于+=一》为实数， d-expl-(o-+》xpm吧-b- 故与不会同时为纯虚数，故 但以上每个解都不满足原方程的初始条件 (a若无为纯虚数，如，-”01±比，则 (5).为了寻求满足(5)的解，把所有的Cm(xy,z)迭 加起来，即令 k=k=-DT+y,7im0,1,2, cv=三三d-exp-a六}l (b)若2为纯虚数，同样求得 (16) k-k=-D俨y+uim0,1,+2,… cwp吧7-b-j 由迭加原理，式(16)也方程(1)的满足条件(2)，(3)， 由于对于k的每一个值，都能求出方程(11) (4)的解. 的解，于是得问题(11)的一列线性无关的解 为了求式(16)中的系数d,对式(16)应用初 .c)-exp ，n=0,±1，±2，… (13) 始条件式（⑤），得 对问题(12)，类似可得k的可能值为 f-三三d.ep[匹"] (17) =-07书mim012 利用指数形式的Fourier级数的有关知识，式 从而方程(12)的一列线性无关的解为 17)两边分别乘以-{俨"吧小 再在矩形 0)=emm0+1,2,- (14) 区域-lsx≤，-Isysl上积分，即得 由于k+k+k=0,所以k=-(k+k),即k的可 d∫Jxp-匹"mla 能值为 n,m-0肚1，t2,… %=k=-D俨+D严-π-严1 代入式(16)，就得到所论问题的解： n,m=0,±1，t2,… cva)=三三.exp-a+-瑞抖 对固定的n,m,将其代入常微分方程(10)并在 两边都除以D得 werw-0俨i-各"严 (18) 由于ak-n=a(-m,a-a-m-0m,bd-nF-b-n, wz)=0 b-w-=-b(m,-±1，±2，…)，所以式(18)右边虚部 它的特征方程为 为0，它为实数.即所讨论问题的解是： 4-〔俨-”严0
北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 比器黯 一， 一 念篇翼 一“ 切 一 特 征 方程 的根 为 的非零解 下 面讨 论 问题 式 的求 解 问题 方 程 的 特征 方 程 为 ， ， ， ， 。 人一十下言讥 一 井犷 刀 刀 “ 一分、 一，儿一分崛一 ’ ， 蠕 汇霖张扁 ， · 巡书心备 ， ，“ 些爵浑 所 以对 固 定， 的方 程 的通解 是 阴 鲡已件心沙 解 得 击一分擂阁 ， 、 一命 一 疆畜 三 因为 是 周 期 为 的周 期 函数 ， 所 以 又和 几不 能任 意取 值 讨论 如 下 若又 。 瓜 ， 则 有又， 之 一寻斋 ， ‘ 一 ， ‘ ‘ 一‘ ， 这 时 方程 的两 乃切 门 ‘ “ “ ’ 乙 ’ ” 砂 ” 工 日 『’ 个线性无 关 的解已 ‘ 与 已 ‘ 均 不 是 周 期 的 ， 从 而 得 不 到周 期解 因此 必 须又声又 设又声儿 ，这 时方程 的两个 线 性无 关 的解 为 沙和 战 而 且 只 有 当又或又 中至 少 一 个 是 纯 虚 数 时 ， 方 程才会 有周 期解 由于山从一普为实数 ， ’ ’ ‘ 工 ‘ “ 公 门 产， 产 声盯 ‘ 川 ‘ ” ’ ‘ 叹 邵 人 从 ’ 故又 与儿不会 同时 为纯 虚 数 ， 故 粼为纯 虚 数 ， 如今“ 月 ，士 ，… ， 则 · 一刀 刀兀 、 ， 刀兀 二 卞， ‘ 气十 ” ， 士 月 ， ’ · ’ 伪 若儿为纯 虚 数 ， 同样 求 得 了 矛犷压 、 ， 兀 。 ‘ ， 一” 寸， ‘ 十认学 ，士 ，士 ，… 由于 对 于 么的每 一 个值 ， 都 能求 出方 程 的解 ， 于 是得 问题 的一 列 线性 无 关 的解 几 一 呼 ‘ ， 一 ，士 ‘ ，士 ，… ‘ 对 问题 ， 类 似 可 得瓜的可 能值 为 、 一 图 课 ‘ ， ” 月月 ，… 从 而 方程 的一 列 线 性 无 关 的解 为 因 满足煦 一 ， 而 且、 一命习 ， 所 以 “ ， 因此 方 程 的满足 条件 的解 是 ， 心沙 巧 这里嘛 是 常数 这 样就 得 到方程 的满足条件 的可 数无 穷 多个 解 呱 呱沙 ， ， ，土 ，士 ，… 将 ， ， 代 回 ， 就求 得 方 程 的满足 条 件 ， ， 的一 系 列变量 分 离形 式 的解 几伙少声 ， 。 价切呱 “ 卜卜喻外 呼毕孚 一咧 但 以上 每 个 解 都 不 满 足 原 方 程 的初 始 条件 为 了寻 求满 足 的解 ， 把所 有 的几 少声 迭 加 起 来 ， 即令 、 一 主主、 一 、 一 翻 · · 。 呼毕鹦 一 ”刁 ‘ “ ， 由迭 加 原 理 ， 式 也 方 程 的满 足条件 ， ， 的解 为 了求 式 中的系 数 嘛 ， 对 式 应 用 初 始条件 式 ， 刀加习 艺 嘛 得 月 一 口 用 二 一 国 呼早嘿 ‘，， ·。 。 一 · 婴 ‘ ， 由于 丸 鹅 ， 能值 为 劝 ，士 ，土， 所 以丸 一 从 ， 即鹅的可 利 用 指 数形 式 的 级 数 的有 关 知 识 ， 式 两 边 分 别 乘 以 卜呼早孚 ， 再在 矩 形 区域 一 胜 ‘ ，一 匀‘ 上 积 分 ， 即得 “ 箭厂 ， 沙” 一呼旱罕 、 一 、一回兴域兴 一 一漂 ‘ ， 肚 ，士 代入 式 ， 就 得 到所 论 问题 的解 ， ，士 ，士 ，… 对 固定 的， ， 将其 代 入 常微 分 方 程 并在 两边 都 除 以 得 二 ， 、 认 ‘ 、 服 丫 兀 、 认 肌 认 兀 ” 片酋 一 厅 于 一芍 一于 一芍二尹」 ‘ 它 的特 征 方 程 为 ， “ 命真身 伽动 罕嘿 一粤 卜一 喻月 华 一咧 玲 一 图 图 ’ 一会平 一合警 一 一 · 由于入 一 。 一。 ， ， 久 一联一。 厂口 ， 城一护一 一 ， ， 一砍一〕一编 ， 牡 ， 土 ， … ， 所 以式 右 边虚 部 为 ， 它 为 实数 即所 讨 论 问题 的解 是
Vol.26 No.1 廖福成等：控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解 ·55· Cwya=三三cxn-a+ ing directional solidification [J].J Crys Growth,1987, ∫∫uco+"吧m-ba A39(5):2772 5 Karma A.Oscillatory instability of deep cells in directional solidification [J].Phys Rev A,1989,39(8):4162 3结论 6 Xu J J.Generalized needle solutions,interfacial instabili- ties,and pattern formation [J].Phys Rev E,1996,53(5): 本文应用分离变量法在复数域内得出了三 5031 维稳态下晶体生长控制熔体浓度的常系数方程 7 Xu JJ.Interface wave theory of solidification-dendritic 的解析解，对于非稳态下常系数方程和变系数方 pattern formation and selection of tip velocity [J].Phys 程还有待于进一步研究和探讨. RevA,1991,43:930 8 Xu JJ.Global instability of viscous fingering in a hele- 参考文献 shaw cell:formation of oscillatory fingers [J].Eur J Appl 1 Mullins WW,Sekerka R F.Morphological stability of a Math,1991,2:l05 particle growing by diffusion or heat flow []JAppl Phys, 9 Xu JJ.Interfacial wave theory for oscillatory fingers for- 1963,24:323 mation in a hele-shaw cell:a comparison with experi- 2 Pelce,Pumir A.Cell shape in directional solidification in ments [J].Eur J Appl Math,1996,7:169 the small peclet number limit [J].J Cryst Growth,1985, 10孙仁济，王自东，陈明文，等.铝合金晶体生长稳态 73:337 时的控制方程及解析解).中国有色金属学报， 3 Weeks J D,Van S W.Directional solidification cells with 2002,12(专辑1：2 grooves for a small partition coeffcient [J].Phys Rev A, 1】陈琛，郑连存，廖福成，等.二维稳态晶体生长控制 1989,39(5):2772 方程的分离变量求解.北京科技大学学报，2003， 4 Billia B,Jamgotchian H,Capella L.Pattern selection dur- 25(增刊)：4. Analytical Solution of Governing Equations for Three-dimension Steady State Crystal Growth LIAO Fucheng,ZU Cuie,ZHENG Liancun,WANG Zidong,LI Weidong", 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A class of partial differential equations(PDE)which describe three-dimension steady state crystal growth for concentration were studied.Because there exists far-field condition,their exact solution or numerical solution can not be derived based on known results about PDE.By using variables separation in the complex num- ber field,the real analytical solution in the form of Fourier series was obtained.The result shows that the concen- tration in the solid-liquid interface is exponentially damped oscillation. KEY WORDS crystal growth;detached variable method;partial differential equation;Fourier series
廖福 成等 控制 熔体 浓度三 维稳定态方 程 的精确 解 “ 一 叔 孙 一 卜 一 ， 喻卜 彻， 孚粤 一罕 一 华 一 、 结 论 本 文 应 用 分 离 变 量 法 在 复 数 域 内得 出 了三 维稳态 下 晶体 生 长 控 制 熔 体浓 度 的常 系 数 方程 的解 析解 对 于 非 稳 态 下 常系数方 程和 变 系数方 程 还 有 待 于 进 一 步研 究和 探 讨 参 考 文 献 ， 加 刀 ， ， ， 加 刀 ， ， 七 ， 、 恤 孚。 别 田 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 刀 ， ， 伽 一 ， ， 几 ， ， 注 一 刀 ， ， 孙仁 济 ， 王 自东 ， 陈 明文 ， 等 铝合 金 晶体 生 长 稳态 时 的控 制 方 程 及 解 析 解 田 中 国 有 色 金 属 学 报 ， ， 专辑 陈深 ， 郑连 存 ， 廖福成 ，等 二 维稳 态 晶体生 长 控 制 方程 的分 离变量 求解 田 北 京科技大学学报 ， ， 增 刊 一 八 乙期 馆 ，气 ，气 月万 ，气环 刀召 乃内心气 肠 馆 ，， ， 劝 ， ， ， ， ， 七 一 丘江 ， 切 ， 由 廿 一 对触 田 月贻