形函数的建立 将各个结点的坐标和各个结点的位移值 (在这里认为是确定值)代入位移模式, 得到一组联立的代数方程组,求解这个 方程,得到由结点坐标和位移值表示的 待定参数值,即 A(,yi,u;) 其中:a:为待定参数 A:表示一种表达式 表示各个结点的坐标和位移 -等参元的形函数有所不同
形函数的建立 ◼ 将各个结点的坐标和各个结点的位移值 （在这里认为是确定值）代入位移模式， 得到一组联立的代数方程组，求解这个 方程，得到由结点坐标和位移值表示的 待定参数值，即： ( , , ) , , : i i i i i i a A x y u x y u = A 其中：a：为待定参数 ：表示一种表达式 表示各个结点的坐标和位移 ◼ 等参元的形函数有所不同
§4.4常应变三角形单元 ■以平面应变问题的三角形单元有限元为 例,阐明有限元解题的过程,从位移模 式的建立,到形函数的形成以及单元刚 N度矩阵、总体刚度矩阵,求解等全过程。 "角形单元是最简单的有限单元,但是 其代表性较强,便于理解
§4.4 常应变三角形单元 ◼ 以平面应变问题的三角形单元有限元为 例，阐明有限元解题的过程，从位移模 式的建立，到形函数的形成以及单元刚 度矩阵、总体刚度矩阵，求解等全过程。 ◼ 三角形单元是最简单的有限单元，但是 其代表性较强，便于理解
■单元位移模式、形函数的建立
◼ 单元位移模式、形函数的建立
设:一个三角形单元,其结点编号为1,2,3 相应结点坐标为{x1y1x2y233而结点 的位移为{u1Y1,2,2,l3y3},这样单元有6 个自由度。 取:单元的位移模式为(常应变): u=a +axa,y v=a,tasxtay 其中:x,y为单元内 (x, y)u 部任一点坐标 u,ⅴ为该点沿x,y 方向的位移
设：一个三角形单元，其结点编号为1,2,3。 相应结点坐标为{x1 ,y1 ,x2 ,y2 ,x3 ,y3 },而结点 的位移为{u1 ,v1 ,u2 ,v2 ,u3 ,v3 },这样单元有6 个自由度。 取：单元的位移模式为（常应变）： 1 2 3 v u (x,y) x y v2 u2 1 2 3 4 5 6 u a a x a y v a a x a y = + + = + + 其中：x，y为单元内 部任一点坐标 u，v 为该点沿x，y 方向的位移
◆将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得: 11=a1+a2x1+a3y V1=a4+a5xtaby1 u2=a+a2x2 +a3y V2=a4+a5x2+a6y2 十a2x2+a2 v=a, tax, +a 得到:三个待定系数的值为: 只与结点坐标 有关 2△ (a11+ax22+a343 (Bl1+B2l2+B42)}△ y2 B1 X3 y3 2△ y11+y22+y3
1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 1 1 1, 2,3 2 2 1 1 2 a u u u x y x y x y a u u u x y y y x y x x a u u u + + = − + + = = − = − + + ＝ （ ） ＝ （ ） ＝ （ ） ◆ 将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得： 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 3 3 3 u a a x a y u a a x a y u a a x a y = + + = + + = + + ◆ 得到：三个待定系数的值为： 只与结点坐标 有关 1 4 5 1 6 1 2 4 5 2 6 2 3 4 5 3 6 3 v a a x a y v a a x a y v a a x a y = + + = + + = + +