教师备课系统—一多媒体教案 分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法,平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础. 三、情感、态度与价值观 通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高 学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:向量数量积的坐标表示的应用 教学关键:平面向量数量积的坐标表示的理解 教学突破方法:教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标 表示.并通过练习,使学生掌握数量积的应用 教法与学法导航 教学方法:启发诱导,讲练结合 学习方法:主动探究,练习巩固 教学准备 教师准备:多媒体、尺规 学生准备:练习本、尺规 教学过程 创设情境,导入新课 前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算,以及平面向量的数量积,那么, 能否用坐标表示平面向量的数量积呢?若能,如何表示呢?由此又能产生什么结论呢? 本节课我们就来研究这个问题.(板书课题) 主题探究,合作交流 提出问题 ①已知两个非零向量(x,y),b(x,y),怎样用a与b的坐标表示ab呢? ②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件? ③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式? 师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.提示学生在向 量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学 生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下 Ii+vi, b=x i ∴ab=(xi+yj)·(xi+yzj) =x1x2 i2+xiy i j+x2y i j+yyj 又∵ii=l,jj1,ijji=0 a b=x1x2+y1y2 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: A.平面向量数量积的坐标表示
教师备课系统──多媒体教案 6 分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础． 三、情感、态度与价值观 通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的坐标表示． 教学难点：向量数量积的坐标表示的应用． 教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解． 教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标 表示．并通过练习，使学生掌握数量积的应用． 教法与学法导航 教学方法：启发诱导，讲练结合. 学习方法：主动探究，练习巩固． 教学准备 教师准备：多媒体、尺规. 学生准备：练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么， 能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？ 本节课我们就来研究这个问题．（板书课题） 二、主题探究，合作交流 提出问题： ①已知两个非零向量 a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用 a 与 b 的坐标表示 a·b 呢？ ②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？ 师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．提示学生在向 量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学 生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下： ∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j， ∴a·b=（x1ｉ+y1j）·（x2ｉ+y2j） =x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j 2． 又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0， ∴a·b=x1x2+y1y2． 教师给出结论性的总结，由此可归纳如下： A. 平面向量数量积的坐标表示
人教版新课标普通高中◎数学④必修 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 则ab=x1x2+yy2 B.向量模的坐标表示 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y)、(x,y),那么 a=(x2-x,yy1),l=y(x2-x1)2+(y2-y1)2 C.两向量垂直的坐标表示 设a=(x,y),b=(x2,n2),则 a⊥b→x1x2+yy2=0 D.两向量夹角的坐标表示 设a、b都是非零向量,a=(x,y),b=(x2,y),O是a与b的夹角,根据向量 数量积的定义及坐标表示,可得 cose- x,+yV3 a lb 拓展创新,应用提高 例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明 活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断 平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作 出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或 者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由 两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让 学生多总结几种判断平面图形形状的方法 解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现 △ABC是直角三角形.下面给出证明 ∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3) ∵.AB·AC=1×(-3)+1×3=0 ∴AB⊥AC. △ABC是直角三角形 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三 角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定
人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 7 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即 a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则 a·b=x1x2+y1y2． B. 向量模的坐标表示 若 a=（x，y），则|a| 2=x 2+y 2，或|a|= 2 2 x + y ． 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么 a=（x2-x1，y2-y1），|a|= ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y C. 两向量垂直的坐标表示 设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a⊥b x1x2+y1y2=0． D. 两向量夹角的坐标表示 设 a、b 都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ 是 a 与 b 的夹角，根据向量 数量积的定义及坐标表示，可得 cosθ= 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | || | a b x x y y a b x y x y + = + + 三、拓展创新，应用提高 例 1 已知 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），试判断△ABC 的形状，并给出证明． 活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断 平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作 出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或 者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由 两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让 学生多总结几种判断平面图形形状的方法． 解：在平面直角坐标系中标出 A（1，2），B（2，3），C（-2，5）三点，我们发现 △ABC 是直角三角形．下面给出证明． ∵ AB =（2-1，3-2）=（1，1）， AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）， ∴ AB ·AC =1×（-3）+1×3=0． ∴ AB ⊥ AC ． ∴△ABC 是直角三角形． 点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三 角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定