2.课程内容的三种组织模式 一本国外的经典教材国外 Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications Seventh Edition) 第一章:矩阵与方程组(线性方程组,行阶梯形, 矩哗代数,初等矩阵,分块矩阵) 第二章:行列式(矩阵的行列式,性质,克拉默法则) 第三章:向量空间(定义,子空间,线性无关,基与 维数,基变换,行(列)空间) 第四章:线性变换(定义,矩阵表示,相似性) 第五章:正交性(标量积,正交子空间,最小二乘,内积空 间,正交集,S正交化过程,正交多项式) 第六章:特征值(定义,线性黴分方程组,对角化,Her-矩阵, 奇异值分解,三次型,正定矩阵,非负矩阵) 第七章:教值线性代教(浮点数,矩阵范数,条件数,…)
一本国外的经典教材国外： 2. 课程内容的三种组织模式 Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications (Seventh Edition) 第二章：行列式(矩阵的行列式，性质，克拉默法则) 第一章：矩阵与方程组(线性方程组，行阶梯形， 矩阵代数，初等矩阵，分块矩阵) 第三章：向量空间(定义，子空间，线性无关，基与 维数, 基变换，行(列)空间) 第四章：线性变换(定义，矩阵表示，相似性) 第五章：正交性(标量积，正交子空间，最小二乘，内积空 间，正交集，G-S正交化过程，正交多项式) 第六章：特征值(定义，线性微分方程组，对角化，Her-矩阵， 奇异值分解，二次型，正定矩阵，非负矩阵) 第七章：数值线性代数(浮点数，矩阵范数，条件数，……)
3.课程内容的主线与核心 线性代教的起源之一是解线性方程组,线性方程组 的求解作为一条主线贯穿于线性代數课程内容的全部 宅的核心是矩阵(对角化),主要方法(手段)是线性变 换(初等变换)。 线性代数的教学应该是依照它的主线, 讲出核心和基本方法(教学思想)
3. 课程内容的主线与核心 线性代数的起源之一是解线性方程组，线性方程组 的求解作为一条主线贯穿于线性代数课程内容的全部. 它的核心是矩阵(对角化), 主要方法(手段)是线性变 换(初等变换)。 线性代数的教学应该是依照它的主线， 讲出核心和基本方法(教学思想)
例1:实对称矩阵的分解问题 实对称矩阵A—存在正交矩阵P,使得A=PDP P=[12l2…,ln1,D=dig(1,1,…,n A= PDP =(PD)P=(ui,U2,,u λu1u1+2n22+…+,unun 实对称矩阵的秩1分解 问题:(1)矩阵可对角化的条件是什么? (2)如何计算矩阵的秩1分解?
= = = T n T T n n T T u u u A PDP PD P u u u 2 1 2 1 1 2 ( ) ( , , , ) 实对称矩阵A 存在正交矩阵P,使得 T A = PDP [ , , , ], ( , , , ) P = u1 u2 un D = diag 1 1 n 例1: 实对称矩阵的分解问题 实对称矩阵的秩1分解 问题: (1) 矩阵可对角化的条件是什么？ (2) 如何计算矩阵的秩1分解？ T n n n T T = 1 u1 u1 + 2 u2 u2 ++ u u
例1:实对称矩阵的分解问题 问题1: 如何将一个秩为r的矩阵4表示为r个秩为的矩阵之和? 解答 矩阵4的秩为r,则存在m阶可逆矩阵P与n阶可 逆矩阵Q满足:A=P 0 O Xn 令T为第行与第i的元素为而其余元素都为0 的mxm矩阵,则T是秩为的矩阵因此PQ的秩为, 且A=P(+…+)Q=PTQ+PT2Q+…+PTQ 这样4就表示成了r个秩为的矩阵之和
问题1： 解答： m n r A r 1 ? 如何将一个秩为 的矩阵 表示为 个秩为 的矩阵之和 A r m P n m n , 矩阵 的秩为 则存在 阶可逆矩阵 与 阶可 r m n I O Q A P Q O O : . = 逆矩阵 满足 T i i i 令 为第 行与第 列的元素为1 0 而其余元素都为 m n T PT Q i i 的 矩阵,则 是秩为1 , 1, 的矩阵 因此 的秩为 A P T T Q PT Q PT Q PT Q 1 1 2 r r 且 = + + = + + + ( ) . 这样A r 就表示成了 个秩为1的矩阵之和. 例1: 实对称矩阵的分解问题