实验六窗函数及其对信号频谱的影响 实验目的 1.掌握几种典型窗函数的性质、特点,比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响 2.通过实验认识它们在克服FFT频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用,以便在实际 工作中能根据具体情况正确选用窗函数 二.实验原理 的截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换.应注意到,傅里叶变换是研究整个时间域和频率 域的关系。然而,当运用计算机实现工程测试信号处理时,不可能对无限长的信号进行测量和运 算,而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段,然后用观察的信号 时间片段进行周期延拓处理,得到虚拟的无限长的信号,然后就可以对信号进行傅里叶变换、相 关分析等数学处理 z(t 观察窗口- 周期延拓 x1(t) x1(t) 图6.1信号的周期延拓 周期延拓后的信号与真实信号是不同的,下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情 况。设有余弦信号x(1)在时域分布为无限长(-∞,∞),当用矩形窗函数w(t)与其相乘时,得到截 断信号xIt)=x(t)w(1)。根据博里叶变换关系,余弦信号的频谱X(o)是位于ω。处的δ函数,而 矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数,按照频域卷积定理,则截断信号xr(t)的谱Xr(o)应为: X(o=r(a)ww(a) 将截断信号的谱Xr(o)与原始信号的谱X(o)相比较可知,它已不是原来的两条谱线,而是两 段振荡的连续谱.这表明原来的信号被截断以后,其频谱发生了畸变,原来集中在f处的能量 被分散到两个较宽的频带中去了,这种现象称之为频谱能量泄漏( Leakage)。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的,因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数,所以即 使原信号x(t)是限带宽信号,而在截断以后也必然成为无限带宽的函数,即信号在频域的能量与 分布被扩展了。又从采样定理可知,无论采样频率多高,只要信号一经截断,就不可避免地引起
实验六 窗函数及其对信号频谱的影响 一. 实验目的 1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。 2. 通过实验认识它们在克服 FFT 频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际 工作中能根据具体情况正确选用窗函数 二. 实验原理 1. 信号的截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率 域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运 算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号 时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相 关分析等数学处理。 图 6.1 信号的周期延拓 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情 况。设有余弦信号 x(t)在时域分布为无限长(- ∞，∞)，当用矩形窗函数 w(t)与其相乘时，得到截 断信号 xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱 X(ω)是位于 ω。处的 δ 函数，而 矩形窗函数 w(t)的谱为 sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号 xT(t) 的谱 XT(ω) 应为： 将截断信号的谱 XT(ω)与原始信号的谱 X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两 段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在 f0 处的能量 被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数 w(t)是一个频带无限的函数，所以即 使原信号 x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与 分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起
混叠,因此信号截断必然导致一些误差,这是信号分析中不容忽视的问题 如果增大截断长度T,即矩形窗口加宽,则窗谱W(o)将被压缩变窄(π/T减小)。虽然理论 上讲,其频谱范围仍为无限宽,但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快,因而泄漏误差将减 小。当窗口宽度T趋于无穷大时,则谱窗W(o)将变为6(o)函数,而6(o)与X(o)的卷积仍为X(o), 这说明,如果窗口无限宽,即不截断,就不存在泄漏误差。 t x(t) i w(t) A W() fo x(t)w(t) A x(f)y(f) 图62信号截断与能量泄露现象 为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称 为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,如果两侧瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣, 就可以较为接近于真实的频谱,为此,在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 实际应用的窗函数,可分为以下主要类型 a)幂窗一采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其它时间(t)的高次幂 b)三角函数窗-应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合成复合函数,例如汉宁窗、海明窗等 c)指数窗-采用指数时间函数,如形式,例如高斯窗等 下面介绍几种常用窗函数的性质和特点 a)矩形窗 矩形窗属于时间变量的零次幂窗,函数形式为 ) 相应的窗谱为
混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度 T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W(ω)将被压缩变窄（π／T 减小）。虽然理论 上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减 小。当窗口宽度 T 趋于无穷大时，则谱窗 W(ω)将变为 δ(ω)函数，而 δ(ω)与 X(ω)的卷积仍为 X(ω)， 这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。 图 6.2 信号截断与能量泄露现象 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称 为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣， 就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 2. 窗函数 实际应用的窗函数，可分为以下主要类型： a) 幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂； b) 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等； c) 指数窗--采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。 下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。 a) 矩形窗 矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为: 相应的窗谱为：
2 sin at' w( 矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺 点是旁瓣较高,并有负旁瓣,导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象 W t t 图6.3矩形窗的时域及频域波形 b)三角窗 三角窗亦称费杰( Fejer)窗,是幂窗的一次方形式,其定义为 系工具条编服条冒扩圆工具收关于 Fa回日当西乙画中①#:凸国a4Dv 窗函数及其对信号频谱的影响 则曰曰 回 coD msaw indre a67Y42习 活划酒 相应的窗谱为 >T 三角窗与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣,如图64所示
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺 点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 图 6.3 矩形窗的时域及频域波形 b) 三角窗 三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为： 相应的窗谱为： 三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图 6.4 所示
(t) 2/T 图64三角窗的时域及频域波形 c)汉宁( Hanning)窗 汉宁窗又称升余弦窗,其时域表达式为: H+icos 2)Flst w(e)=722 0 T 相应的窗谱为: a2+/x sin(ar-x) ina,1「sin(aT+x) 由此式可以看出,汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和,或者说是3个sine(t)型 函数之和,而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T,从而使旁瓣互相抵消,消 去高频干扰和漏能。可以看出,汉宁窗主瓣加宽并降低,旁瓣则显著减小,从諴小泄漏观点出发 汉宁窗优于矩形窗.但汉宁窗主瓣加宽,相当于分析带宽加宽,频率分辨力下降 d)海明( Hamming)窗 海明窗也是余弦窗的一种,又称改进的升余弦窗,其时间函数表达式为 (054+04c07)H≤r (={T >T 其窗谱为: W(a)=108a + +0.46 af+5
图 6.4 三角窗的时域及频域波形 c) 汉宁（Hanning）窗 汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为： 相应的窗谱为： 由此式可以看出，汉宁窗可以看作是 3 个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3 个 sine（t）型 函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消 去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发， 汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。 d) 海明（Hamming）窗 海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为： 其窗谱为：
海明窗与汉宁窗都是余弦窗,只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析 表明,海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB.海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成,但其 旁瓣衰减速度为20dB/(10oct),这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函 数 5)高斯窗 高斯窗是一种指数窗。其时域函数为 ≤T Y)={7 >7 式中a为常数,决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当,可以使截断点(T为有限值) 处的函数值比较小,则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣,第一旁瓣衰减达-55dB 高斯富谱的主瓣较宽,故而频率分辨力低.高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号,如指数衰 减信号等。 不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的,这主要是因为不同的窗函数,产生泄漏的大小不 样,频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏,而用FFT算法计算频谱又产生了 栅栏效应,从原理上讲这两种误差都是不能消除的,但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们 的影响进行抑制。图6.5是几种常用的窗函数的时域和频域波形,其中矩形窗主瓣窄,旁瓣大 频率识别精度最高,幅值识别精度最低:布莱克曼窗主瓣宽,旁瓣小,频率识别精度最低,但幅 值识别精度最高 1:形窗 4:高斯窗 Yo mmm 2:汉宁窗 5:布莱克曼窗 3:海明窗 6:平顶窗 △A 图6.5几种常用的窗函数的时域和频域波形 对于窗函数的选择,应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率,而 不考虑幅值精度,则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗,例如测量物体的自振频率等
海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析 表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一 42dB．海明窗的频谱也是由 3 个矩形时窗的频谱合成，但其 旁瓣衰减速度为 20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函 数。 5) 高斯窗 高斯窗是一种指数窗。其时域函数为： 式中 a 为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a 值如果选取适当，可以使截断点（T 为有限值） 处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一 55dB。 高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰 减信号等。 不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不 一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用 FFT 算法计算频谱又产生了 栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们 的影响进行抑制。图 6.5 是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大， 频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅 值识别精度最高。 图 6.5 几种常用的窗函数的时域和频域波形 对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而 不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；