4.1写出下列信号对应于s平面的复频率。 (1)esin(-51) (2)3e(1) (3) coS 21 (4)2e-cos(21+60°) 42求下列函数的拉氏变换。 1)1 (2)sint+2 cost (3)te (4)esin(21) (5)(1+2r)e (6)[1-cos(at)e -pr (7)t2+2t (8)26(1)-3e7 (9)e sinh(Bt) (10)cos2(_) (11) (12)e-(*a)cos(ot) (13)le-(-2)(-1) (14)e“f(-),设已知[f()]=F(s) (15)e“f(),设已知5f()]=F(s) (16)t cOS(3t) (17)t2cos(2r) (18)(1-ea)
4.1 写出下列信号对应于 s 平面的复频率。 （1）e sin( 5t) t − − （2）3e (t) t ε − （3）cos 2t （4） 2 cos(2 60 ) D + − e t t 4.2 求下列函数的拉氏变换。 （1） at e− 1− （2）sin t + 2cost （3） t te−2 （4）e sin(2t) −t （5） t t e− (1+ 2 ) （6） t t e β α − [1− cos( )] （7）t 2t 2 + （8） t t e 7 2 ( ) 3 − δ − （9）e sinh( t) at β − （10）cos ( ) 2 Ωt （11） ( ) 1 t t e e α β β α − − − − （12） cos( ) ( ) e t t a ω − + （13） ( 1) ( 2) − − − te t t ε （14） ( ) a t e f a t − ，设已知ξ[ f (t)] = F(s) （15） ( ) a t e f −at ，设已知ξ[ f (t)] = F(s) （16） cos (3 ) 3 t t （17） cos(2 ) 2 t t （18） (1 ) 1 at e t − −
(19) (20)sIn(ar) 43确定下列函数的拉氏变换收敛域及零极点图 (1)el(1) (2)e,b>0 (3)eu()+e-lu(1) (4)l(-3); (5)eu(-1)+e"(-1); (6)6(t-10); (7)(1)+l(1); (8)(t-1)-l(t-2)。 44求图P41所示各波形的拉氏变换。 f() f2(1) S(04 f(1)4 cos(t /2) 图P41 4.5利用拉普拉斯变换的性质求下列函数的变换 (1)cosh(2)
（19） t e e −3t −5t − （20） t sin(at) 4.3 确定下列函数的拉氏变换收敛域及零极点图。 （1）e u(t), α > 0 at ； （2） , 0 | | > − e b b t ； （3） ( ) ( ) 2 e u t e u t −t − t + ； （4）u(t − 3) ； （5） ( ) ( ) 3 5 e u t e u t t t − + − ； （6） ( ) 0 δ t − t ； （7）δ (t) + u(t) ； （8）u(t −1) − u(t − 2) 。 4.4 求图 P4.1 所示各波形的拉氏变换。 0 0 1 2 3 t 1 2 3 t 0 1 2 3 4 t 0 1 3 5 t ( ) 1f t 1 1 1 1 ( ) 2f t ( ) 3f t ( ) 4f t cos(πt / 2) 图 P4.1 4.5 利用拉普拉斯变换的性质求下列函数的变换。 （1）cosh(2t)
(3)to sin(t) (5)E()-E(t-3) (6)E(-1)E(t-2) 46应用拉普拉斯变换性质,证明下列变换成立。 (1)tsin(o1)E(1) (2)t2es()-2 S-+ (S+a) ∫()4>bF(bs+1) f(<bF(bs +b) b (5)Sa(n)a(t)4> arctan(- (6)Si(08(t)<>-arctan( 47求下列单边拉氏变换的逆变换 5s+6 s2+3s+2 2 2 (s+2)(s2+2s+1 (5) s2+2s+5) +2 (8) 2(s+1)
（2） ) 4 3 cos(2 π t − （3） t te−α （4） t sin(t) （5）t[ε (t) − ε (t − 3)] （6）ε (t −1)ε (t − 2) 4.6 应用拉普拉斯变换性质，证明下列变换成立。 （1） 2 2 2 ( ) 2 sin( ) ( ) ω ω ω ε + ↔ s s t t t （2） 3 2 ( ) 2 ( ) s a t e t at + − ε ↔ （3） ( ) ↔ ( +1) − bF bs b t e f b t （4） ( ) ( ) 2 bF bs b b t e f bt ↔ + − （5） ) 1 ( ) ( ) arctan( s Sa t ε t ↔ （6） ) 1 arctan( 1 ( ) ( ) s s Si t ε t ↔ 4.7 求下列单边拉氏变换的逆变换。 （1） 5 6 1 2 2 + + + s s s ； （2） 3 2 1 2 + + − s s s （3） ( 4) 2 2 s s + （4） ( 2)( 2 1) 2 2 s + s + s + s （5） ( 2 5) 5 2 + + + s s s s （6） ( 2)( 3) 1 2 + − + s s s s （7） ( 2)( 4) 2 s + s − s （8） ( 1) 2 2 s s +
(9) (10) ( 48已知下列拉普拉斯变换式F(s)及收敛域,求原函数∫(t) s+1 (2) e(S)< 5s+6 (S-1) s3+s2+1 (S+1)(s+2) (5) e{s}>-1 (S+1)(s+2) (7) 1<Re{s}<2 (8) Re si>0 49用初值和终值定理求下列信号逆变换式的初值和终值: (3)X(s)=
（9） ( 1) 1 2 s + （10） 3 ( 3) 1 s + （11） (1 ) 1 s s e− + （12） ( )(1 ) (1 ) 2 2 2 s s s e e − − + − + π π 4.8 已知下列拉普拉斯变换式 F(s)及收敛域，求原函数 f (t)： （1） Re{ } 1 ( 1) 1 2 2 > − + − + s s s s （2） Re( ) 3 5 6 1 2 < − + + + s s s s （3） 0 Re{ } 1 ( 1) 1 2 2 < < − − + s s s s s （4） Re{ } 1 ( 1)( 2) 1 3 2 > − + + + + s s s s s （5） Re{ } 1 ( 1)( 2) 1 2 > − + + + + − − s s s e e s s （6） Re{ } 1 ( 1) 4 2 2 ( 1) > − + + − − s s e s （7） 1 Re{ } 2 2 2 1 2 − < < − − − s s s s （8） Re{ } 0 (1 ) 1 > + − s s e s 4.9 用初值和终值定理求下列信号逆变换式的初值和终值： （1） s X s 1 ( ) = ； （2） s e X s −s − = 1 ( ) ； （3） 1 1 ( ) 2 + = s X s ；
(4)(J)ss2(1 410用拉普拉斯变换分析法,求下列系统的响应。 (1)d2r()+3()+2()=0.r(0)=1,r(0)=2 (2) dr(o) +2r()+e(1)=0,r(0)=2,e()=eE(m) dt dr() +2r1(1)-2(1)=e(),r1(0)=2,n2(0)=1,e(D)=E(D) (3) (n)+d2( dt +2F2(D)=0 4.11求下列各微分方程所描述系统的冲击响应和阶跃响应。 d2y(),。d(t) +4y()=2x() (2)d2y(0)+521+4x(0=2d+6x0) dyo dyo 2y() dx(o) dt dt 4.12已知连续系统的微分方程为 y(1)+3y(1)+2y()=2f(1)+2f(t) 求在下列输入时的零状态响应: (1)f(1)=E(t-2); (2)f(1)=e-E() (3)f(1)=tE(1)。 4.13求图P42所示电路的单位冲击响应u2(D),l2(1)和(1),并画出波形。 i(1) c() (1) R l2(1) 图P42
（4） 1 (1 ) ( ) 2 2 + − = − s s s X s s 。 4.10 用拉普拉斯变换分析法，求下列系统的响应。 （1） 2 ( ) 0, (0) 1, (0) 2 ( ) 3 ( ) ' 2 2 + + r t = r = r = dt dr t dt d r t （2） 2 ( ) ( ) 0, (0) 2, ( ) ( ) ( ) r t e t r e t e t dt dr t t ε − + + = = = （3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + = + − = = = = 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 2, (0) 1, ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 r t dt dr t r t r t r t e t r r e t t dt dr t ε 4．11 求下列各微分方程所描述系统的冲击响应和阶跃响应。 （1） 4 ( ) 2 ( ) ( ) 5 ( ) 2 2 y t x t dt dy t dt d y t + + = （2） 6 ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 2 x t dt dx t y t dt dy t dt d y t + + = + （3） 6 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 3 3 x t dt dx t y t dt d y t dt d y t − + = − 4．12 已知连续系统的微分方程为 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) '' ' ' y t + y t + y t = f t + f t 求在下列输入时的零状态响应： （1） f (t) = ε (t − 2) ； （2） f (t) e (t) t ε − = ； （3） f (t) = tε (t) 。 4．13 求图 P4.2 所示电路的单位冲击响应u (t) c ，u (t) L 和i(t)，并画出波形。 δ (t) R L u (t) L C u (t) C i(t) 图 P4.2