信号与系统电索 3.2傅里叶级数 二、波形的对称性与谐波特性 1.f(t为偶函数—对称纵坐标 2 J f()cos(nS2t)dt bm TJT()sin(nQt)dt bn=0,展开为余弦级数。 2.ft为奇函数—对称于原点 an=0,展开为正弦级数 实际上,任意函数f)都可分解为奇函数和偶函数两部 分,即f(t)=fa(t)+f(t) 由于f-)=fn(t)+f(-0)=-f0()+f()所以 页LLDL口西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1111页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标 ∫− = 2 Ω 2 ( ) cos( ) d 2 T n T f t n t t T a ∫− = 2 Ω 2 ( )sin( ) d 2 T n T f t n t t T b bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
信号与系统电索 3.2傅里叶级数 f(t)-f(-t) f,( f(t+ft 3.f(为奇谐函数—f(t)=-f(t士T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇次 ▲f(t 堵波分量,而不含偶次谐波分 量即 =b,=b==0 0T/2 、傅里叶级数的指数形式 角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算常感 不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出:利用cosx=(ex+el)2 第412页14141 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1212页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t od − − = 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t e v + − = 3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) f(t) 0 T/2 T t 此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
信号与系统 电子教案 3.2傅里叶级数 f(t)=0+>A, cos( ns2t+,) +∑ j(nOt+on) +e j(n9什+gn) 2 +∑Aee+∑ ee 上式中第三项的n用-m代换,A=An,qn=-9n 则上式写为A1 +∑ An ene+∑Aeem 令A=Aeie =0 所以 f()=∑A 9 ee 2 n=- 4页1414LL■ 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1313 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 ∑ ∞ = Ω + − Ω + = + + 1 0 ( ) ( ) [e e ] 2 n 2 n j n t j n t n n A A ϕ ϕ ∑ ∑ ∞ = − − Ω ∞ = Ω = + + 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j jn t n n j jn t n n n A A A ϕ ϕ ∑ ∞ = = + Ω + 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t ϕ 上式中第三项的 n 用–n代换， A– n=A n，ϕ– n= – ϕ n， 则上式写为 ∑ ∑ −∞ = − Ω ∞ = Ω + + 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j jn t n n j jn t n n n A A A ϕ ϕ 令 A 0=A 0 e j ϕ 0 ej0 Ω t ，ϕ 0=0 ∑ ∞ =−∞ Ω = n j jn t n n f t A e e 2 1 ( ) ϕ 所以
信号与系统电来索 3.2傅里叶级数 令复数 A eJn=FEn=F 称其为复傅里叶系数,简称傅里叶系数 A J卯n (A, COS +ja sin m=(an-jb) 2 TJrJ()cos(nQ2t)dt-J f(tsin( net)dt f(re nse 2 T f()=2F,emr Fn=f() Q t 2 n=0,1,士2, 表明:任意周期信号f(t可分解为许多不同频率的虚指 数信号之和。Fn是频率为nΩ的分量的系数,F0=A0/2 为流分量LLL西电子料技太学电路与系统教中
信号与系统 信号与系统 第第44--1414页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 令复数 n n j A n F F n n = = ϕ ϕ e e 2 1 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 ( ) 2 1 ( cos sin ) 2 1 2 1 n n n n n n j n n F A e A jA a jb n = = ϕ + ϕ = − ϕ ∫ ∫ ∫ − Ω − − = Ω − Ω = 2 2 2 2 2 2 ( ) e d 1 ( )sin( ) d 1 ( ) cos( ) d 1 T T jn t T T T T f t t T f t n t t T f t n t t j T ∑ ∞ =−∞ Ω = n jn t Fn f ( t ) e n = 0, ±1, ± 2，… ∫ − Ω = 2 2 ( ) e d 1 T T jn t n f t t T F 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指 数信号之和。 F n 是频率为 n Ω的分量的系数， F 0 = A 0/2 为直流分量
信号与系统电索 3.2傅里叶级数 四、周期信号的功率— Parseval等式 周期信号一般是功率信号,其平均功率为 7!0r0)=(2)2+2242=∑FP 含义:直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功 率之和。 n≥0时,F|=An2。 415贝14 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1515页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 四、周期信号的功率——Parseval等式 ∫ ∑ ∑ ∞ =−∞ ∞ = = + = n n n n T A F A f t dt T 2 1 0 2 2 0 2 | | 21 ) 2 ( ) ( 1 含义：直流和n次谐波分量在1Ω电阻上消耗的平均功 率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为