第章 线性离散控制系统分析卓龄许算法已知x(t)→>X(S),及全部极点S.(i=1,2,.,n),则nC res[X(S.) -m- - ≥ R,x(2) = Z1i=li=l当X(S)具有一阶极点时 S=S,时,R,为留数R; = lim (s -s;)[X(S) z-]S-→>s当X(S)有r重极点时R= lim, [(s -s.)X(S) z]
自动控制原理 第八章 线性离散控制系统分析 R lim [(s-s ) X(S) ] ( ) R lim (s-s )[X(S) ] ( ) S S ,R x(z) res[X(S ) ] x(t) X(S), S ( 1,2, , ), 1 S Ts r- r-1 S Ts Z-e r Z i d s d (r-1)! 1 Z-e Z i i i i 1 1 i i i i Si Ts s s s s n i i n i Z e Z X S r X S R i n → → = = − = = = = = → = 当 有 重极点时 当 具有一阶极点时 时 为留数 已知 及全部极点 则 (3)留数计算法
自动控制原理第章 线性离散控制系统分析二,乙变换的基本定理(1)线性定理Z[ax(t)] = aX(Z)Z[X,(t) ±X2(t)] = X,(Z) ±X(Z)证明:由X(Z)=X(nT)Z-"有n=0Z[aX(t)] = aX(nTs )z-" = ax(nT,)Z-" = aX(Z)n=0n=0Z[X,(t)±X,(t)] = Z(X,(nT,)±X,(nTs))Z-")n=0Zx,(nTs)Z-" ±Zx,(nTs)Z-n=0= X,(Z)±X,(Z)(2)实数位移定理(a)迟后定理设在t<0时,连续函数X(t)为零,上其Z变换存在,则Z[X(t - kTs)] = Z-kX(Z)
自动控制原理 第八章 线性离散控制系统分析 Z[X (t) X (t)] X (Z) X (Z) Z[ax(t)] aX(Z) 1 2 = 1 2 = X (Z) X (Z) X (nTs) X (nTs) Z[X (t) X (t)] {X (nT ) X (nTs)] } Z[aX(t)] aX(nTs) X(nT ) aX(Z) : X(Z) X(nT ) 1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 s 2 0 s 0 0 s = = = = = = = = = − − = − = − = − = − n n n n n n n n n n n n Z Z Z Z a Z 证明 由 Z 有 Z[X(t - kTs)] Z X(Z) 0 , ( ) , , -k = 设在t 时 连续函数X t 为零 上其Z变换存在 则 二.Z变换的基本定理 (1)线性定理 (2)实数位移定理 (a)迟后定理
自动控制原理第章 线性离散控制系统分析证明：由Z变换定义Z[X(t -kT,)]= X(nT, -kT,)Z-n=0= X(-kTs) + X(T,-kT,)Z + ..+ X(O)Z*k + X(T,)Z-(k+1)+...+ X(nT,)Z-(k+n) +..: X(-kT)= X[(1- K)Ts] =...= X(-T)= 0.. Z[X[(t - KT,)] = X(O)Z*k + X(T,)Z-(k+1) +...+X(nTs)Z -(k+n)+... = Z-k[X(O)+ X(T)Z-I +...+ X(nT)Z-n +...]=ZkX(Z)证毕说明：（1)迟后定理说明，原函数在时域中延迟K个采样周期,相当于Z变换乘以Z-K(2)算子Z-K的物理意义:Z-K代表迟后环节，它把采样信号延迟K个采样周期
自动控制原理 第八章 线性离散控制系统分析 证毕 证明 由 变换定义 Z ( ) Z [ (0) ( ) ( ) ] Z[X[(t - K T )] X(0)Z X(T )Z X(nTs)Z X(-kT ) X[(1- K)Ts] X(-T ) 0 X(nT )Z X(-kTs) X(T -kT )Z X(0)Z X(T )Z Z[X(t - kT )] ( ) : -k -k 1 -(k 1 ) -(k ) s -k s s s -(k ) s -(k 1 ) s -1 -k s s 0 s X Z X X T Z X nT Z X nT k T Z Z n s s n n n n s s = + = + + + + = + + + = = = = + + + = + + + + = − − − + + + + = − 说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延 迟K个采样周期,相当于Z变换乘以Z -K 。 (2)算子Z -K的物理意义: Z-K代表迟后 环节,它把采样信号延迟K个采样周期