《数学分析》课程教学大纲 Mathematical Analysis

数学分析课程教学大纲 Mathematical Analysis 1、课程基本情况 课程编号： 课程总学时：288，其中：讲课：288，实验：0，上机：0，实习：0，课外：0. 课程学分：17 课程分类：必修 开课学期：第一至第三学期 开课单位：理学院应用数学系 适用专业：数学专业 所需先修课：无 课程负责人：王来生 2、课程内容简介 数学分析是数学系的一门重要的基础课程。它是开展数学专业一系列后续课程的基础。本课程的最重要的目的在 于，通过学习这门课程的基本内容与方法，培养起学生的抽象思维能力和考虑问题的严谨性，以利于今后专业课程 的学习和实践。通过学习，要求学生掌握本门课程的基本概念，基本理论和甚本运算，并获得熟练运用这些知识的 能力。 本课程的主要内容包括：1)各种极限运算，其中包括数列极限、函数极限以及上、下极限：2)一元函数的微 分学，包括微分和导数的运算法则、微分中值定理及其应用等；3)一元函数的积分和广义积分及其收敛性；4④)级 数及其收敛性，包括数值级数的收敛性和函数项级数的各种运算和性质；5)多元函数的微分学及其应用，其中很多 方面与一元函数的微分学近似，需要注意它们之间的区别；6)多元函数的积分学，包括多重积分的性质与计算，多 重积分的的应用等；7)曲线、曲面积分及其应用8)含参变量积分的计算与性质：9)Fourier级数及其应用，等 本课程的重点在于掌握各种计算方法和基本的分析方法与技巧。本课程对深度的要求属于一般，对需要太多技 巧和分析的内容只要求做到能在应用的时候会查阅相关的章节即可， Mathematical analysis is one of the fundamental courses for the department of mathematics.It is the foundation of succeed courses for mathematics.The most important goal for this course is to cultivate the student to have the abilities of abstract and preciseness of thinking,for future studies and practices of other major courses.Through studying.students should master the principle conceptions,fundamental theories,and basic operations of this course,and obtain the abilities to use this knowledge proficiently. The major part of this course include:1)several limit operations,including the limit of sequences,the limit of functions and the limit of superior and inferior.2)Differentiation for one variable functions,including the operations for differentiation and derivative,differential mean value theorems and applications.3)Integral of one variable functions,improper integral and its convergence properties.4)Series and its convergence properties,including convergence property and operations of number series and series of functions.5)Differentiation and applications for

数学分析课程教学大纲 Mathematical Analysis 1、 课程基本情况 课程编号： 课程总学时：288, 其中：讲课：288,实验：0,上机：0,实习：0,课外：0 。 课程学分： 17 课程分类：必修 开课学期：第一至第三学期 开课单位：理学院应用数学系 适用专业：数学专业 所需先修课：无 课程负责人：王来生 2、 课程内容简介 数学分析是数学系的一门重要的基础课程。它是开展数学专业一系列后续课程的基础。本课程的最重要的目的在 于，通过学习这门课程的基本内容与方法，培养起学生的抽象思维能力和考虑问题的严谨性，以利于今后专业课程 的学习和实践。通过学习，要求学生掌握本门课程的基本概念，基本理论和基本运算，并获得熟练运用这些知识的 能力。 本课程的主要内容包括：1) 各种极限运算，其中包括数列极限、函数极限以及上、下极限；2) 一元函数的微 分学，包括微分和导数的运算法则、微分中值定理及其应用等；3) 一元函数的积分和广义积分及其收敛性；4) 级 数及其收敛性，包括数值级数的收敛性和函数项级数的各种运算和性质；5) 多元函数的微分学及其应用，其中很多 方面与一元函数的微分学近似，需要注意它们之间的区别；6) 多元函数的积分学，包括多重积分的性质与计算，多 重积分的的应用等；7) 曲线、曲面积分及其应用；8) 含参变量积分的计算与性质；9) Fourier级数及其应用，等 等。 本课程的重点在于掌握各种计算方法和基本的分析方法与技巧。本课程对深度的要求属于一般，对需要太多技 巧和分析的内容只要求做到能在应用的时候会查阅相关的章节即可。 Mathematical analysis is one of the fundamental courses for the department of mathematics. It is the foundation of succeed courses for mathematics. The most important goal for this course is to cultivate the student to have the abilities of abstract and preciseness of thinking, for future studies and practices of other major courses. Through studying, students should master the principle conceptions, fundamental theories, and basic operations of this course, and obtain the abilities to use this knowledge proficiently. The major part of this course include: 1) several limit operations, including the limit of sequences, the limit of functions and the limit of superior and inferior. 2) Differentiation for one variable functions, including the operations for differentiation and derivative, differential mean value theorems and applications. 3) Integral of one variable functions, improper integral and its convergence properties. 4) Series and its convergence properties, including convergence property and operations of number series and series of functions. 5) Differentiation and applications for

functions of several variables,although with many similarities in many aspects compared with functions in one variable,there are differences one should be aware.6)Integral for functions of several variables,including the properties and calculations for multiple integral,the applications for multiple integral etc.7)Curves,surfaces integral and applications.8)The computation and properties for integral with parameters.9)Fourier series and applications,etc The main point for this course in to master the methods of calculation of all kinds and principle analysis method and techniques.This course is not much depth required,so for the contents needing heavy skills and analysis,one is only required to be able to check and read corresponding sections when applications needed. 三、各部分教学纲要 数学分析（一）(96学时) 第一章集合与映射(8学时) 1.内容： 集合与映射：包括集合、子集、余集的定义，集合的并、交、差、补等集合的关系，集合运算规律，如交换 率、结合率、分配率，笛卡儿乘积：以及映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制 与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性等的定义、 性质及应用。要求掌握集合的运算和函数的简单特性的定义等。 2.基本要求 (1)掌握集合和映射的定义 (②)能熟练应用定义研究函数的简单特性 第二章数列极限(16学时) 1.内容 数列极限的定义；数列极限的性质：唯一性，收敛数列的有界性，极限的保号、保序性，极限的四则运算： 无穷小量与无穷大量的关系；极限的收敛准则：包括Cauchy收敛原理，单调有界收敛原理，夹逼准则；两个重要 极限，数和。 2.基本要求 (1)掌握数列极限的定义和收敛准则： (2)熟练应用各种定义、定理和收敛准则求极限。 第三章函数极限与连续函数(18学时) 1.内容： 函数极限的定义；与数列极限性质相平行的函数极限的性质：函数极限与数列极限的关系；单侧极限与极限 定义的充：连续函数的定义和各种运算法则：不连续函数的间断点类型；反函数和复合函数的连续性；无穷小量 和无穷大量的阶的比较和应用：闭区间上连续函数的性质，包括有界性、最大、最小值的存在性、零点存在定理、 中间值定理（介值定理和一致连续的概念和Cato定理，要求掌握函数极限以及函数连续的定义，计算函数的极 限，以及掌握闭区间上连续函数的性质， 2.基本要求：

functions of several variables, although with many similarities in many aspects compared with functions in one variable, there are differences one should be aware. 6) Integral for functions of several variables, including the properties and calculations for multiple integral, the applications for multiple integral etc. 7) Curves, surfaces integral and applications. 8) The computation and properties for integral with parameters. 9) Fourier series and applications, etc. The main point for this course in to master the methods of calculation of all kinds and principle analysis method and techniques. This course is not much depth required, so for the contents needing heavy skills and analysis, one is only required to be able to check and read corresponding sections when applications needed. 三、各部分教学纲要 数学分析（一）(96学时) 第一章 集合与映射(8学时) 1．内容： 集合与映射：包括集合、子集、余集的定义，集合的并、交、差、补等集合的关系，集合运算规律，如交换 率、结合率、分配率，笛卡儿乘积；以及映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制 与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性等的定义、 性质及应用。要求掌握集合的运算和函数的简单特性的定义等。 2．基本要求 (1) 掌握集合和映射的定义； (2) 能熟练应用定义研究函数的简单特性． 第二章 数列极限（16学时） 1．内容： 数列极限的定义；数列极限的性质：唯一性，收敛数列的有界性，极限的保号、保序性，极限的四则运算； 无穷小量与无穷大量的关系；极限的收敛准则：包括Cauchy收敛原理，单调有界收敛原理，夹逼准则；两个重要 极限，数和。 2．基本要求： (1) 掌握数列极限的定义和收敛准则； (2) 熟练应用各种定义、定理和收敛准则求极限。 第三章 函数极限与连续函数（18学时） 1．内容： 函数极限的定义；与数列极限性质相平行的函数极限的性质；函数极限与数列极限的关系；单侧极限与极限 定义的扩充；连续函数的定义和各种运算法则；不连续函数的间断点类型；反函数和复合函数的连续性；无穷小量 和无穷大量的阶的比较和应用；闭区间上连续函数的性质，包括有界性、最大、最小值的存在性、零点存在定理、 中间值定理(介值定理)和一致连续的概念和Cantor定理。要求掌握函数极限以及函数连续的定义，计算函数的极 限，以及掌握闭区间上连续函数的性质。 2．基本要求：

(1)掌握函数极限的定义和收敛准则： (2)掌握闭区间上连续函数的性质 (③)利用利用函数极限的定义和连续函数的性质解相关的题型 第四章微分和导数(20学时) 1.内容： 微分和导数：微分和导数的定义及关系；导数的几何意义及单侧导数：函数的求导法则：四则运算法则、反 函数和复合函数的求导法则：高阶导数和高阶微分特别是高阶导数的L©bz公式：补充曲率和曲率圆的相关知识 要求掌握微分和导数的定义及关系并能利用各种求导法则计算基本的微分和导数 2.基本要求： (1)掌握函数的微分和导数的定义和求导法则： (2)熟练应用微分和导数的定义和求导法则求微分和导数。 第五章微分中值定理及其应用(20学时) 1.内容： 包括Fermat定理，Role定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理；L'Hospital法则， Taylor公式，Taylor 公式的Peano余项及Lagrange余项（习题课可补充Cauchy余项）；某些初等函数的Taylor展开式，微分学应用：待靛 型的定值法，函数的升降，极值，最值，凸性，拐点的判定，渐近线，函数的作图及函数方程的近似求解（有可能 的情况下可作计算实习题)。 2.基本要求： (1)要求掌握微分中值定理及其应用的条件： (2)要求熟练应用L'Hospital法则求导数，求初等函数的Taylor展开式 (③)利用函数的各种特性作出函数草图。 第六章积分学（一)(14学时) 1.内容： Riemann积分的定义；Darboux.上、下和与上、下积分；Riemanni可积的充分必要条件，重要的可积函数类； 原函数与不定积分的定义，基本积分表，运算法测：黎曼积分的计算：微积分基本定理(Newton-Leibniz公式) 2.基本要求： (1)掌握Riemann积分的定义及基本的可积条件 (②)应用基本积分表和微积分基本定理求简单的不定积分和定积分。 数学分析（二）(96学时) 第七章积分学（二）(24学时) 1.内容： 不定积分和定积分的性质：线性性、乘积可积性、保号、保序性、区间可加性、绝对可积性；第一积分中值定 理；变上限积分所定义的函数的连续性与可微性。换元法与分步积分法：定积分的应用：1)元素法与几何应用：面

(1) 掌握函数极限的定义和收敛准则； (2) 掌握闭区间上连续函数的性质； (3) 利用利用函数极限的定义和连续函数的性质解相关的题型。 第四章 微分和导数(20学时) 1．内容： 微分和导数：微分和导数的定义及关系；导数的几何意义及单侧导数；函数的求导法则：四则运算法则、反 函数和复合函数的求导法则；高阶导数和高阶微分特别是高阶导数的Leibniz公式；补充曲率和曲率圆的相关知识。 要求掌握微分和导数的定义及关系并能利用各种求导法则计算基本的微分和导数。 ２．基本要求： (1) 掌握函数的微分和导数的定义和求导法则； (2) 熟练应用微分和导数的定义和求导法则求微分和导数。 第五章 微分中值定理及其应用(20学时) 1．内容： 包括Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理；L’Hospital法则； Taylor公式，Taylor 公式的Peano余项及Lagrange余项(习题课可补充Cauchy余项)；某些初等函数的Taylor展开式。微分学应用：待定 型的定值法，函数的升降，极值，最值，凸性，拐点的判定，渐近线，函数的作图及函数方程的近似求解(有可能 的情况下可作计算实习题)。 2．基本要求： (1) 要求掌握微分中值定理及其应用的条件； (2) 要求熟练应用L’Hospital法则求导数，求初等函数的Taylor展开式 (3) 利用函数的各种特性作出函数草图。 第六章 积分学（一）(14学时) 1．内容： Riemann积分的定义；Darboux上、下和与上、下积分；Riemann可积的充分必要条件，重要的可积函数类； 原函数与不定积分的定义，基本积分表，运算法则；黎曼积分的计算：微积分基本定理(Newton-Leibniz公式) 2．基本要求： (1) 掌握Riemann积分的定义及基本的可积条件； (2) 应用基本积分表和微积分基本定理求简单的不定积分和定积分。 数学分析（二）(96学时) 第七章 积分学（二）（24学时） 1．内容： 不定积分和定积分的性质: 线性性、乘积可积性、保号、保序性、区间可加性、绝对可积性；第一积分中值定 理；变上限积分所定义的函数的连续性与可微性。换元法与分步积分法；定积分的应用：1) 元素法与几何应用：面

积、体积、弧长、旋转面的面积：2)实际应用：质量、重心、压力、功、数学建模简介；定积分的近似计算（数值 计算)：Newton-Cotes公式、误差估计及复化求积公式.定积分的计算和应用定积分的几何、物理意义求解一些实 际数学模型的题目。不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些可有理化的 函数的积分。要求掌握基本的积分公式并计算相对简单的不定积分。 2.基本要求 (1)熟练应用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分和原函数， (2)熟练应用微积分基本定理和各种积分法求定积分： (③)理解定积分的几何、物理意义求解几何、物理题目： (4)会应用定积分的近似计算作定积分的数值计算。 第八章反常积分广义积分)(12学时) 1.内容： 两类反常积分的收敛与发散定义：广义积分的计算；Cucy主值：积分第二中值定理与反常积分的收敛准则 -比较判别法，Cauchy判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法。要求掌握两类反常积分的收敛的定义和收敛判别法 以及计算基本的反常积分。 2.其木要求 (1)要求掌握两类反常积分的收敛的定义和收敛判别法： (②)利用积分公式求反常积分的值。 第九章实数理论(10学时) 1.内容： 上、下确界的定义，上、下极限和实数系的基本定理与相互关系， 2.基本要求： (1)掌握上、下确界和上、下极限的定义； (2)掌握实数系的基本定理的条件和应用范围。 第十章数项级数(18学时) 1.内容： 数项级数：数项级数的定义和收敛性；数项级数的基本性质；正项级数收敛的Cauchy原理、比较判别法及 极限形式、Cauchy判别法、D'Alemberty判别法、Raabey判别法：级数与数项级数的关系以及数项级数收敛的积分 判别法：任意项级数：Leibniz判别法、Abe判别法、Dirichlet判别法：数项级数的绝对收敛和条件收敛以及应用： 级数的乘积-Cauchy乘积及其性质；无穷乘积-一收敛性定义及与级数的关系。 2.基本要求： (1)掌握计算级数的和的基本技巧； (2)熟练掌握级数收敛判别法 第十一章函数项级数(18学时) 1.内容：

积、体积、弧长、旋转面的面积；2) 实际应用：质量、重心、压力、功、数学建模简介；定积分的近似计算(数值 计算): Newton-Cotes公式、误差估计及复化求积公式。定积分的计算和应用定积分的几何、物理意义求解一些实 际数学模型的题目。不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些可有理化的 函数的积分。要求掌握基本的积分公式并计算相对简单的不定积分。 2．基本要求： (1) 熟练应用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分和原函数。 (2) 熟练应用微积分基本定理和各种积分法求定积分； (3) 理解定积分的几何、物理意义求解几何、物理题目； (4) 会应用定积分的近似计算作定积分的数值计算。 第八章 反常积分(广义积分)（12学时） 1．内容： 两类反常积分的收敛与发散定义；广义积分的计算；Cauchy主值；积分第二中值定理与反常积分的收敛准则- -比较判别法，Cauchy判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法。要求掌握两类反常积分的收敛的定义和收敛判别法 以及计算基本的反常积分。 2．基本要求： (1) 要求掌握两类反常积分的收敛的定义和收敛判别法； (2) 利用积分公式求反常积分的值。 第九章 实数理论（10学时） 1．内容： 上、下确界的定义，上、下极限和实数系的基本定理与相互关系。 2．基本要求： (1) 掌握上、下确界和上、下极限的定义； (2) 掌握实数系的基本定理的条件和应用范围。 第十章 数项级数（18学时） 1．内容： 数项级数：数项级数的定义和收敛性；数项级数的基本性质；正项级数收敛的Cauchy原理、比较判别法及其 极限形式、Cauchy判别法、D’Alembert判别法、Raabe判别法；级数与数项级数的关系以及数项级数收敛的积分 判别法；任意项级数：Leibniz判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；数项级数的绝对收敛和条件收敛以及应用； 级数的乘积-Cauchy乘积及其性质；无穷乘积-收敛性定义及与级数的关系。 2．基本要求： (1) 掌握计算级数的和的基本技巧； (2) 熟练掌握级数收敛判别法。 第十一章 函数项级数（18学时） 1．内容：

函数项级数的点态收敛和一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，Weierstrass判别法（优级数判别法），Abel判 别法、Dirichlet判别法；一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积；Dini定理；幂 级数的收敛半径，Cauchy- nard定理，D'Alembert判别法，幂级数的和函数的性质-连续性、可导性及可积 性；Taylor级数和函数的幂级数展开。eierstrassi逼近定理 2.基本要求 (1)熟练掌握函数项级数收敛判别法： (2)熟练掌握幂级数的各种性质； (3③)掌握利用幂级数求数项级数的和的技巧， 第十二章欧氏空间上的极限和连续(14学时) 1.内容 基本概念一一范数，邻域，开集，闭珠，开核，闭包，有界集，紧集，连通集，区域，聚点，点列的极限， Euclid空间上的墓本定理闭矩形套定理、柯西收敛原理，致密性定理(Bol2ano-Weierstrass定理)，有限覆盖定理 (Heine-Bor©l定理；多元函数的极限与累次极限；函数的连续性；向量值函数及其连续性；有界闭区域（紧集）上连 续函数的性质：连通集及其上的连续映射。 2.基本要求 掌握实数空间的基本概念和基本定理，注意多元函数与一元函数的区别。 数学分析（三）(96学时) 第十三章多元函数的微分学(22学时) 1.内容： 偏导数及其几何意义；方向导数与全微分；连续、可微、可偏导之间的关系；梯度：高阶偏导数及次序交换 定理；高阶全微分：向量值函数的偏导数：多元复合函数的求导法则链式法则、一阶微分形式的不变性；Tyo 公式：隐函数存在定理及偏导计算；偏导数在几何中的应用-一切、法平面和切、法线方程：极值、最值问题-判别 条件和Lagrange乘数法. 2.基本要求： (1)掌握各种定义： (②)熟练计算各阶偏导数和偏微分： (3)熟练掌握极值问题求解 第十四章重积分(20学时) 1.内容 二重积分定义与性质，达布上、下和与上、下积分，可积的充要条件，可积函数类：二重积分的计算：化重 积分为累次积盼，重积分的换元法极坐标，柱坐标，球坐标n重积盼：重积分的应用：曲面面积，重心，转动 惯量，引力；反常广义)重积盼：微分形式。 2.基本要求： ()掌握重积分的定义： (2)熟练计算重积分：

函数项级数的点态收敛和一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，Weierstrass判别法(优级数判别法)，Abel判 别法、Dirichlet判别法；一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积；Dini定理；幂 级数的收敛半径，Cauchy-Hadamard定理，D’Alembert判别法，幂级数的和函数的性质-连续性、可导性及可积 性；Taylor级数和函数的幂级数展开。Weierstrass逼近定理。 2．基本要求： (1) 熟练掌握函数项级数收敛判别法； (2) 熟练掌握幂级数的各种性质； (3) 掌握利用幂级数求数项级数的和的技巧。 第十二章 欧氏空间上的极限和连续（14学时） 1．内容： 基本概念――范数，邻域，开集，闭集，开核，闭包，有界集，紧集，连通集，区域，聚点，点列的极限， Euclid空间上的基本定理-闭矩形套定理、柯西收敛原理，致密性定理(Bolzano-Weierstrass定理)，有限覆盖定理 (Heine-Borel定理)；多元函数的极限与累次极限；函数的连续性；向量值函数及其连续性；有界闭区域(紧集)上连 续函数的性质；连通集及其上的连续映射。 2．基本要求： 掌握实数空间的基本概念和基本定理，注意多元函数与一元函数的区别。 数学分析(三) (96学时) 第十三章 多元函数的微分学（22学时） 1．内容： 偏导数及其几何意义；方向导数与全微分；连续、可微、可偏导之间的关系；梯度；高阶偏导数及次序交换 定理；高阶全微分；向量值函数的偏导数；多元复合函数的求导法则-链式法则、一阶微分形式的不变性；Taylor 公式；隐函数存在定理及偏导计算；偏导数在几何中的应用-切、法平面和切、法线方程；极值、最值问题-判别 条件和Lagrange乘数法。 2．基本要求： (1) 掌握各种定义； (2) 熟练计算各阶偏导数和偏微分； (3) 熟练掌握极值问题求解。 第十四章 重积分（20学时） 1．内容： 二重积分定义与性质，达布上、下和与上、下积分，可积的充要条件，可积函数类；二重积分的计算：化重 积分为累次积分，重积分的换元法，极坐标，柱坐标，球坐标；n重积分；重积分的应用：曲面面积，重心，转动 惯量，引力；反常(广义)重积分；微分形式。 2．基本要求： (1) 掌握重积分的定义； (2) 熟练计算重积分；