3.1.3周期序列的傅立叶变换 周期为N的周期序列x(n)的傅立叶变换 可表示为脉冲串的形式 2丌 2k7 N X(k)o(o-n 证明 .(X( JO logO 2 J-7 ∑X(k)「 2kT O n=0 2 zmk ∑X(k) x(n) n=0 攵字信号处理第3章◎2004
数字信号处理第3章 © 2004 3.1.3周期序列的傅立叶变换 周期为N的周期序列 的傅立叶变换 可表示为脉冲串的形式 证明： ( ) ~x n ( ) ~ j X e =− = k N 2 ( ) ~ X k ) 2 ( N k − [ −1 F ( ) ~ j X e − = 2 1 ( ) ~ j X e e d j ( ) ~ ( ) 1 ~ ) 2 ( ) ( 1 ~ 1 0 2 1 0 2 0 X k e x n N e d N k X k N N n N n k j N n j n = = = − − = − =
3.2离散傅立叶变换 321有限长序列的离散傅立叶变换 DFT的定义 长度为N的序列x(n)其频谱为 X(e)=∑x(m)e Jon 在[02z)上从0开始等间隔的取N个点,相应 的O4=(k=0,N-1)则上式变为 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 3.2离散傅立叶变换 3.2.1有限长序列的离散傅立叶变换 一.DFT的定义 长度为N的序列x(n)其频谱为 在 上从0开始等间隔的取N个点，相应 的 （k=0,…,N-1),则上式变为 − = − = 1 0 ( ) ( ) N n j j n X e x n e [0,2 ) N k k 2 =
X(e)=∑ r(n) (k=0,,N-1) 2丌 令X(k)=X(e)并用记号Ox=e 可得有限长序列{x(n)}(n=0,1,2,,N-1)的 离散正反傅立叶变换 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 − = − = 1 0 2 ( ) ( ) N n kn N j j X e x n e k （k=0,…,N-1) ( ) ( ) k j X k X e 令 = 并采用记号 N j N e 2 − = 可得有限长序列{x(n)}(n=0,1,2,…,N-1)的 离散正反傅立叶变换
离散傅立叶变换,简称DFT X(k)=DFT(n)]=x(n)WN n=0 (k=0,,N-1) 傅立叶反变换,简称IDFT x(m)=DFT[X(6人(k(k=0,…N-1) N 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 离散傅立叶变换，简称DFT 傅立叶反变换，简称IDFT − = = = 1 0 ( ) ( ) ( ) N n n k WN X k DFT x n x n （k=0,…,N-1) − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) N k n k WN X k N x n IDFT X k （k=0,…,N-1)
周期性以及与DFS的关系 1余数运算表达式 如果n=n1+mN,0≤n1≤N-1 m为整数;则有: (v))=(n1) 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 二.周期性以及与DFS的关系 1.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： n = n1 + mN 0 1 n1 N − (( )) ( ) n N = n1