第三章 离散傅立叶变换及其 快速算法
第三章 离散傅立叶变换及其 快速算法
3.1周期序列的离散傅立叶级数 31.1周期序列的傅立叶级数(DFS) 对于周期为N的周期序列x(n)可用基序 列{N}来展开。 基波为(m)==ez3 2 x(n)的基频为o 第k次谐波为2(m)=2"=27 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 3.1周期序列的离散傅立叶级数 3.1.1周期序列的傅立叶级数（DFS） 对于周期为N的周期序列 可用 基序 列 { } 来展开 。 的基频为 基波为 第k次谐波为 ( ) ~x n nk N j e 2 ( ) ~x n N 2 0 = n N j j n e n e e 2 1 0 ( ) = = nk N j j nk k e n e e 2 0 ( ) = =
由 2兀n(k+1 丌 k k+rN n=e e, (n 说明eN"是以N为周期的周期序列,所以 基序列{e"}(k=0,,N-1)只有n个是独 立的,可以用这n个基序列将x(n展开 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 由 ( ) ( ) 2 ( ) 2 e n e e e n k n k N n k r N j N j k r N = = = + + 说明 是以N为周期的周期序列，所以 基序列 { }（k=0,…,N-1) 只有n个是独 立的，可以用这n个基序列将 展开 nk N j e 2 nk N j e 2 ( ) ~x n
通常记WN=e W具有以下性质: 1周期性W=W 2共轭对称性W=(W") 3可约性Wm=W 4正交性x∑WWwy)=∑ w(m-k)n 数字信号处理第3章26元0 0m≠k
数字信号处理第3章 © 2004 通常记 具有以下性质： 1.周期性 2.共轭对称性 3.可约性 4.正交性 N j N W e 2 − = WN (n rN) N n WN W + = * ( ) n N n WN W − = n N rn WrN = W = = − = − − = 0 1 1 ( ) 1 1 0 ( ) 1 0 * N n m k n N N n mn N kn N W N W W N m k m k =
离散傅立叶级数的表示: 正变换:X(k)=DFS【(n) 2兀nk ∑x(n)eN=∑x(n)Wx 0 反变换:x(m)=DFS[x(k 入之X=1 ∑X(k)WA N k=0 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 离散傅立叶级数的表示： 正变换： 反变换： − = − = − = = = 1 0 1 0 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N n n k N N n n k N j x n e x n W X k DFS x n − = − − = = = = 1 0 1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ N k n k N N k n k N j X k W N X k e N x n IDFS X k