N-1:N N 1O12 图3-1两庭烈的厦期卷积
图 数字信号处理第3章 © 2004 3-1-1两个序列的周期卷积
说明: 上图是周期为N=6的两个序列x(m)和n) 卷积的计算过程。类似于线性卷积,首先 进行变量代换为x(m)和x2(m),再将其中 个序列进行反褶,移位,相乘,然后加 运算仅在m=0到m=N-1内进行,计算出 个周期的结果,再进行周期延拓得到整 序列j(m) 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 说明： 上图是周期为N=6的两个序列 卷积的计算过程。类似于线性卷积，首先 进行变量代换为 ，再将其中一 个序列进行反褶，移位，相乘，然后加。 运算仅在m=0到m=N-1内进行，计算出 一个周期的结果，再进行周期延拓得到整 个序列 ( ) ~ ( ) ~ 1 2 x n 和x n ( ) ~ ( ) ~ x1 m 和x2 m ( ) ~ y n
周期卷积有下述定理,若 Y(k)=DFS[y (n)]=X,(k)X,(k) 证明:y(n)=DFS[Y(k) N>X()x2()W 代入(k)=∑x(m) k 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 周期卷积有下述定理，若 证明： 代入 ( ) = ~ Y k ( )] ~ DFS[ y n ( ) ~ ( ) ~ 1 2 = X k X k − = = = 1 0 1 ( )] ~ ( ) [ ~ N N k y n IDFS Y k ( ) ~ ( ) ~ 1 2 X k X k nk WN − − = = 1 0 1 ( ) ~ N m X k ( ) ~x1 m mk WN
得(n)=1∑∑x(m)WWX2(k)WN k=0m=0 ∑(m∑2(k)形m] m=0 k=0 由移位定理得 y(n)=>x1(m)x2( 77 2= O 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 得 − = − = = 1 0 1 0 1 ( ) ~ N k N N m y n ( ) ~x1 m mk WN ( ) ~ 2 X k nk WN − − = = 1 0 N m − = 1 0 1 N N k n m k WN −( − ) ( ) ~ 2 X k ( ) ~x1 m 由移位定理得 − = = − 1 0 1 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N m y n x m x n m
同理可证明频域周期卷积定理 若y(m)=x(n)x2(m) 则y(k)=DFS[v()] X1()X2(k N 数字信号处理第3章⊙2004
数字信号处理第3章 © 2004 同理可证明频域周期卷积定理 若 则 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ y n = x1 n x2 n − = = − = 1 0 1 2 ( ) ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ N l X l X k l N Y k DFS y n