458 数字图像处理（第三版） 图10.16(a)中所示原图像的分辩率相当高(834×1114像 素)，且在图像获取的距离上，墙砖对于图像细节的贡献仍 十分显著。这种精细的细节在边缘检测中通常是不符合需 要的，因为它往往表现为燥古，导数十算会增强这中噪声： 从而使图像中主要边缘的检测变得复杂。减少精细细节的 一种方法是对图像进行平滑处理。图10.18显示了与图10.16 中相同的图像序列，但先使用一个大小为5x5的均值滤波 器对原图像进行了平滑（关于平滑滤波器，见35节）。现在 每个模板的向应几平未显示出由砖块浩成的影响.得到的图10.17使用式(102.11)计算的梯度角度 结果几乎都是主要的边缘。 图像。在该图像中的恒岸灰府 在图10.16和图10.18中，水平和垂直Sobel模板不区 区城指出这些区域中所有像索素 分土45°方向的边缘是很明显的。如果沿对角方向强调边缘 位置处的梯度向量的方向均相同 很重要，则应使用图10.15中所示的一个模板。图10.19(a 和(b)分别显示了45°和-45°的Sobel模板的绝对响应。在这些图中 平滑后图像的最大功镜强度幅度 这些模板的较程的对角响应很明显。两个对角模板对水平边缘和垂 会随着平滑模板尺寸的增加面减小 直边缘都有类似的响应，但正如所期望的那样 它们在这些方向上 (见习题10.13 的响应要比之前讨论的水平和垂直模板的响应弱。 a b e d 图10.18与图10.16中的相同图像序列，但在边缘检测之前.用大小为5x5的均值滤波器对原图像进行了平滑 图10.19对角边缘检测：(a)使用图10.15(c)中的模板得到的结果；(6)使用 图10.15(@中的模板得到的结果。两种情祝下的输入图像都是图10.18(a 与國值处理相结合的梯度 图10.18中的结果说明，在计算梯度前对图像进行平滑处理，边缘检测可做更多的选择。实现 相同的基本目标的另一种方法是对梯度图像进行值处理。例如，图10.20(a)显示了图10.16（经阅 值处理后的梯度图像，此时其值大于或等于梯度图像的最大值的33% 选择用于生成图00a)的值的 圆要霜 致的多数小 滑图1016中的图像的基本目标
第10章图像分割 459 这幅图像中的边缘要尖锐得多（例如。见屋瓦中的边缘）。另一方面，在阔值处理后的图像中，许多边 缘，如确定屋顶远边缘的45线，被断开了。 当目的是突出主要边缘并尽可能维护连接性时，实践中通常平滑处理和阀值处理两者都使用。 图10.206)显示了图10.18(@)经阀值处理后的结果，它是平滑后图像的梯度。该结果显示断开的边 缘减少了一些：例如，比较图10.20(a)和(6)中的45边缘。当然，这些由于模糊处理其灰度值严重 降低的边缘（即屋瓦中的边缘）可能因阀值处理而完全消除。在10.2.7节我们再回来讨论边缘断线的 问题 图10.20(a)图10.16(@)中图像经阀值处理后的图像，阔值选择为图像中最高值的33%： 该调值刚好高到足以消除梯度图像中的多数砖块边缘：(6)图1018()中图 像经阀值处理后的图像，它是使用等于图像中最高值的33%的阀值得到的 10.2.6更先进的边缘检测技术 前一节中讨论的边缘检测方法是以用一个或多个模板对图像进行滤波为基础的，而未对图像特 性和噪声内容采取预防措施。在这-一节，我们时论更为先进的技术，尝试考虑诸如图像噪声和边缘本 身特性的因素改进简单的边缘检测方法。 Mar-Hildreth边缘检测器 最早的成功地尝试将更高级的分析结合到边缘检测处理之一应归 为证明边缘检测与图像尺寸无 功于Mar和Hildreth198O。正如前节所讨论的那样，当时，边缘检 测方法是以使用较小的算子为基础的（如Sobel模板）。Mar和Hildreth 证明了：()灰度变化与图像尺寸无关，因此他们的检测要求使用不 会更细 同尺寸的算子：(2)灰度的突然变化会在一阶导数中引起波峰或波谷，或在二阶导数中等效地引起零 交叉（就像我们在图10.10中见到的那样） 这些概念建议，用于边缘检测的算子应有两个显著的特点。第 1022与推高断悠率密度函数 个和最重要的特点是它应该是一个能计算图像中每一点处的一阶导数 果在个给定应用中期烟得到一 或二阶导数的数字近似的微分算子。第二，它应能被“调整”以便在 精确的表达式，则乘以常数可添加 任何期望的尺寸上起作用，因此，大的算子也可用于检测模糊边缘， 到式102-23的最终结果中 小的算子可用于检测锐度集中的精细细节。 Mar和Hildreth论证过，满足这些条件的最令人满意的算子是滤波器VG,如在3.6.2节中定义 的那样，V2是拉普拉斯算子（⊙21x2+21d2),而G是标准差为（有时也称为空问常数）的 维高斯函数 G.y)e
460 数字图像处理（第三版） 为求VG的表达式，我们执行如下微分： ocn要”，9-6子] (10.2-22 整理各项后给出如下最终表达式： 2G(x,y)= 2+y2-2g1 (10.2-23) 04 该表达式称为高斯拉普拉斯LoG) 图10.21(a)到()显示了一个LoG的负函数的三维图、图像和剖 面（注意L0G的零交叉出现在x+y2=σ2处，它定义了一个中心位 注意图1021(e)冲制面与图437c 高迪使器之同的相似性。这相 于原点、半径为√20的圆)。因为图10.21(a)中显示的形状，LoG函 数有时也称为墨西哥草帽算子。图10.21(d)显示了一个5x5的模板 它近似于图10.21(a)中的形状（在实践中，我们会用该模板的负模板）。这个近似并不是唯一的，其目 的是获取LoG函数的基本形状：根据图10.21(a).这意味着一个正的中心项由紧邻的负区域包周着。 中心项的值以距原点的距离为函数而增大，而外层区域的值为零。系数之和必须为零，从而模板的响 应在恒定灰度区域为零 -2 零交义 零交 -10 0 0 图10.21（包）负oG的三维图：(b)显示为幅图像的负LoG图：(C)显示了零交叉的图 (a)的横截面：(@对图(a)中形状55模板的近似，实际中将使用该模板的负值 网 任意尺寸的模板可以通过对式(10.223)取样并标淀系数以使系数之和为零来生成。生成L0G滤 波器的一种更有效的方法是以希望的尺寸对式0221)取样，然后将结果阵列与一个拉普拉斯模
第10章图像分制 461 板进行卷积，例如图10.4(a)中的模板。因为用一个系数之和为零的模板对图像阵列卷积产生一个元 素之和也为零的结果（见习题3.16和习题10.14），故这种方法自动满足L0G滤波器系数之和为零的 要求。在本节的后面将讨论LG滤波器尺寸的选取问题。 选择算子VG的基础有两个基本概念。第一，算子的高斯部分会模糊图像，从而在尺寸上将结 构的灰度（包括噪声）降低到远小于。的程度。与3.5节中讨论的和图10.18中使用的平均形式不同的 是高斯函数在空间和频率两个域平滑图像（见4.8.3节），因而在原图像中引人不存在的人为干扰（如振 铃)的可能性很小。另一个概念涉及7，即滤波器的二阶导数部分。尽管一阶导数可用于检测灰度突 变，但它们是有方向的算子。另一方面，拉普拉斯有各向同性（旋转不变）的重要优点，这不仅符合人 的视觉系统特性(M1982),而且对任何模板方向的灰度变化有相等的向应，从而壁免了使用多个 模板去十算图像中任何点处的最强响应 Marr-Hildreth算法由OG滤波器与一幅输入图像x,y)卷积组成，即 g(x,y)=[VG(xy川★f(x,) (102.24) 然后寻找g化，y)的零交叉来确定∫：，)中边缘的位置。因为这些都是线性操作，故式(10.2-24)也可 写为 g(x,y)=V2G(x,y)★f(xy川 (10.2-25) 它指出我们可以先使用一个高斯滤波器平滑图像，然后计算该结果的 该表达式是使用式34在面 拉普拉斯。这两个公式给出了相同的结果。 城中实现的。也可使用式(4工.在 MaT-Hildreth边缘检测算法可小结如下： 率城中实现 1.用一个对式(10.2-21)取样得到的m的高斯低通滤波器对输入图像滤波。 2.计算由第一步得到的图像的拉普拉斯，例如，使用图10.4(a)的3x3模板[第一步和第二步实现 式(10225) 3.找到步骤2所得图像的零交叉。 为确定高斯滤波器的大小，仍采用位于二维高斯表面下其均值在±30之间的99.7%。这样，作 为一种经验法则， 个大小为xn的LoG离散滤波器，其n值应是大于等于6o的最小奇整数。n小 于该值的滤波器模板会“截断”L0G函数，截断的程度与模板的大小成反比：而使用较大的模板对 结果的影响不大 在滤波后的图像(xv的任意像素D处，寻找零交叉的一种方法是用以》为中心的一个3x3邻域。D 点处的零交叉意味着至少有两个相对的邻域像素的符号不同。有4种要测试的情况：左右、上/下和两个 对角。如果g红)的值与一个阀值比较（一种通常的方法），那么不仅相对邻域的符号不同，而且它们 的数值差的绝对值还必须超过这个阀值。这时，我们称p为一个零交 叉像素。下面的例10.7中将说明这一方法。 零交叉是MaT-Hildreth边缘检测方法的关键特征。前段中i寸论的 因为燥声和/或计算不准确 方法是很有吸引力的，因为它实现简单，并且通常能给出好的结果。 如果在某个特殊应用中使用这一方法找到的零交叉位置的准确性不够，那么可采用由Huertas and Medionil1986]提出的采用亚像素精度米寻找零交叉方法。 一主原的能 这一主题给出的注释很重要
462 数字图像处理（第三版） 例10.7Mar-Hildreth边缘检测算法说明， 图10.22(a)显示了早先使用过的建筑物图像.图10.226)是Mar-Hildreth算法的步骤1和步骤2得 到的结果，其中。=4（约为图像短边长度的05%）和n=25(如早先讨论的那样，大于等于60的最小奇整 数)。如在图10.5中那样，这幅图像中的灰色调已被标定过。图10.22（©）显示了使用上面讨论过的阔值为 零的33邻域方法得到的零交叉。注意，所有的边缘形成了一个闭环。这种所谓的意大利通粉效应是 使用零值方法的严重缺点（见习题10.15）。我们使用正阀值避免闭环边缘 图1022()显示了使用近以等于LoG图像最大值的4%的阀值的结果。注意，很容易地检测出了大 多数的丰要边缘，并目业掉了一些“无关”特征，例如砖块和屋瓦的边缘。正如我们在下一节要说明的 那样，使用前节讨论的基于梯度的边缘检测技术实际上是不可能得到这种类型的性能的。使用零交叉松 测边缘的另一个重要结果是可得到一个像素宽的边缘。这一特性简化了诸如边缘连接的后续阶段的处理。 图10.2(a)大小为834x11I4像素、灰度值已标定到范制Q,1的原图像：b)Mar-Hde算法的 步骤1和步骤2得到的结果，其中σ=4和n=25:(©)使用零圆值的图(6)的零交叉（注意 闭环边缘)：(@使用等于图)中图像的最大值的4%的侧值时，找到的零交义。注意细边缘 老食早失提及的灰度变化取决干数值节围的事实。有时所用的时程是使用名种。值来对一幅图像 进行滤波。然后，所得零交叉边缘图与仅为全部图形保留的公共边缘相结合。这种方法可得到很有用 的信息，但由于其复杂性，实践中它多被用做使用单一滤波器选择合适的σ值的设计工具。 Marr and Hildreth(1980指出过.使用高斯差分(DoG)来近似式(10.2-23)中的LoG滤波器是可能的 DoG(=2 1 1 (10.2-26) 其中0，>02。实验结果表明，在人的视觉系统中，某些“通道”就方 向和颜率而论是有选择性的，且可以使用式(10.2-26)以1.75：1的标 高斯差分是 个高通滤波器。详 见4.74节中的时 准差比率来建模。Mar和Hildreth建议过，使用1.6：1的比率不仅可 保持这些观察的基本特性，而且还可对LG函数提供一个更接近的 “工程”近似。为在LoG和DoG 之间进行有意义的比较，对于LOG,σ值必须按照如下公式选择，以便LoG和DoG具有相同的零 交叉（见习原1017） (10.2.27) O-0 当使用这个。值时，尽管LoG和DoG的零交叉相同，但它们的幅度大小会不同。我们可以通过标定 这两个函数使得它们兼容，以便它们在原点处有相同的值。 图10.23(a)和(6)中的剖面线是分别使用标准差比率1：1.75和1：1.6产生的（按照惯例，所显示的 曲线被反转了，就像在图10.21中那样)。LoG剖面线显示为实线，而DoG剖面线显示为虚线。所示 曲线是通过L0G和DoG阵列中心的灰度剖面线，这两个阵列分别是通过对式(10.2-23)（前面有一个 网常数1V202)和式(102,26)取样产生的。所有曲线在原点处的幅度均被归一化为1。如图10.23)所 示，1：1.6的比率在LoG和DoG函数之间产生了一个更接近的近似